【正文】 n?1 D2 = (ad ? bc)n. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 例 5. 證明 n階級(jí) (n?2)范德蒙 (Vandermonde)行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 證明 :當(dāng) n =2時(shí) , D2 = (a2? a1). 現(xiàn)設(shè)等式對(duì)于 (n?1)階范德蒙行列式成立 , 則 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 = 1 1 1 … 1 0 a2?a1 a3?a1 … an ? a1 0 a2(a2?a1) a3(a3?a1) … an2 (an?a1) … … … … … 0 a2n2(a2?a1) a3n2(a3?a1) … ann2(an?a1) Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 = (a2?a1)(a3?a1)…( an?a1) 1 1 … 1 a2 a3 … an … … … … a2n2 a3n2 … an n2 = 1 1 1 … 1 0 a2?a1 a3?a1 … an ? a1 0 a2(a2?a1) a3(a3?a1) … an2 (an?a1) … … … … … 0 a2n2(a2?a1) a3n2(a3?a1) … ann2(an?a1) = (a2?a1)(a3?a1)…( an?a1) ? (ai? aj) n? i j ? 2 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 5. 升階 . (其中 a1a2… an ? 0). Dn= 1+a1 1 … 1 1 1+a2 … 1 … … … … 1 1 … 1+ an 例 6. 計(jì)算 n階行列式 3. 按某一行 (列 )展開(kāi) —降階 . 4. 遞推 /歸納 . 行列式 的 計(jì)算 1. 二 , 三階行列式 —對(duì)角線法則 . 2. 利用初等變換化為三角形 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 解 : Dn= 1+a1 1 … 1 1 1+a2 … 1 … … … … 1 1 … 1+ an = 1 1 1 … 1 0 1+a1 1 … 1 0 1 1+a2 … 1 … … … … … 0 1 1 … 1+ an ?(?1) … 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 = 1 1 1 … 1 0 1+a1 1 … 1 0 1 1+a2 … 1 … … … … … 0 1 1 … 1+ an ?(?1) … 1 1 1 … 1 ?1 a1 0 … 0 ?1 0 a2 … 0 … … … … … ?1 0 0 … an = ―傘形” 行列式 I l?ve it! 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 一 . 行列式 = 1 1 1 … 1 ?1 a1 0 … 0 ?1 0 a2 … 0 … … … … … ?1 0 0 … an ?(?1/a1) … ?(?1/a2) ?(?1/an) 注意 已知條件 : a1a2… an ? 0, 否則不能 1/a1, …, 1/an! = [1+ ?(1/ai)]a1a2 an . … i = 1 n = 1+?(1/ai) 0 0 … 0 ?1 a1 0 … 0 ?1 0 a2 … 0 … … … … … ?1 0 0 … an i = 1 n 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 二 . 矩陣 矩 陣 運(yùn)算 分塊運(yùn)算 初等變換 線性 方程組 向量 空間 應(yīng) 用 標(biāo)準(zhǔn)形 規(guī)范形 正定性 向量組 秩 線性表示 線性相關(guān)性 二次型 特征值 特征向量 相似 秩 齊次 非齊次 線性變換 坐標(biāo)變換 基變換 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 運(yùn)算 前提條件 定義 性質(zhì) 加法 A + B A與 B是同類型的 對(duì)應(yīng)元素相加 A + B = B + A。 (A + B) + C = A + (B + C)。 A + O = A。 A + (?A) = O 數(shù)乘 kA k是一個(gè)數(shù) 用 k乘 A的每一個(gè)元素 k(lA) = (kl)A。 (k + l)A = kA + lA。 k(A + B) = kA + kB。 (?1)A = ?A 乘法 AB A的列數(shù) = B的行數(shù) (aij)m?l(bij)l?n = (cij)m?n cij = (AB)C = A(BC)。 A(B+C) =AB+AC。 (A+B)C =AC+BC。 (kA)B = k(AB) 冪 Am A是方陣 , m是正整數(shù) A1 = A, Ak+1 = AkA AkAl = Ak+l。 (Ak)l = Akl 轉(zhuǎn)置 AT 無(wú) (aij)m?l T = (aji)l?m (AT)T = A。 (A + B)T = AT + BT。 (kA)T = kAT。 (AB)T = BTAT 多項(xiàng)式 f(A) A是一個(gè)方陣 , f(x) = asxs +… + a1x + a0 f(A) = asAs +… +a1A+a0I A? = ?? (? ? ?)?f(A)? = f(?)?, A? = ?? (? ? ?), f(A)? = O ? f(?) = 0 行列式 |A| A是一個(gè)方陣 ? ? , |A?1| = |A|?1 逆矩陣A?1 A是一個(gè)方陣且 |A|?0 若 AB = BA = I則 B = A?1 唯一性 , (A?1)?1 = A, (A?1)m = (Am)?1, (AT)?1 = (A?1)T, (kA)?1 = k?1A?1, (AB)?1 = B?1A?1, 滿秩 , 特征值 ?0 1n ik kjk ab?? 矩陣 的 運(yùn)算 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 行矩陣 列 矩 陣 零矩陣 初等 矩陣 對(duì)稱 矩陣 對(duì)角 矩陣 單位矩陣 反對(duì)稱 矩陣 正交 矩陣 正定 矩陣 可逆 矩陣 數(shù)量 矩陣 方陣 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 行矩陣 A1?n: 只有一行 , 又名 行向量 . 列矩陣 An?1: 只有一列 , 又名 列向量 . 零矩陣 : 每個(gè)元素都是 0, 常記為 Om?n或 O. 初等矩陣 : 由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得 . 方陣 : 行數(shù) =列數(shù) . 對(duì)稱矩陣 : AT = A. 對(duì)角矩陣 : diag{?1, ?2, …, ?n}, 常用 ?表示 . 數(shù)量矩陣 : kE, kI, 其中 k為常數(shù) . 單位矩陣 : 主對(duì)角線元素都是 1, 其余元素都是 0, 常記為 E或 I. 反對(duì)稱矩陣 : AT = ?A. 正交矩陣 : QTQ = T = E. 正定矩陣 : AT = A且 ?x ?? 有 xTAx 0. 可逆矩陣 : AB = BA = E. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 乘 積 向量組之間的線性表示 (系數(shù)矩陣 ) 線性變換的合成 (z = By = BAx) 二次型的矩陣表達(dá)式 ( f(x) = xTAx) 不滿足消去律 結(jié)合律的妙用 不滿足交換律 線性方程組的 矩陣表達(dá)式 (Ax = b) 兩組基之間的聯(lián)系 (過(guò)渡矩陣 ) 有非平凡的零因子 應(yīng)用 定義 性質(zhì) (??T)k (P?1AP)k 向量的內(nèi)積 ( ??, ?? = ?T? ) 實(shí)際問(wèn)題 (背景 ) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . 例如 : (1 2) = 11, 3 4 3 4 (1 2) = 3 6 4 8 . 而 又如 : = 1 1 0 1 1 2 3 4 4 6 3 4 , 而 = 1 1 0 1 1 2 3 4 1 3 3 7 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (2) (AB)2和 A2B2未必相等 . 例如 : A = 1 1 0 0 , , B = 1 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 , A2B2 = AB = 1 0 1 0 = 2 0 0 0 4 0 0 0 . 而 (AB)2 = 2 0 0 0 = 1 1 0 0 1 1 0 0 = A, A2 = 1 1 0 0 = 1 0 1 0 1 0 1