【正文】 ??????????)1()1()0(21nuuuHGHGHGn??? ?HGHGHGS n????? ?212)( npn ? )1(,),1(),0( ?nuuu ?np npn49 由于初態(tài) 可任意給定，根據(jù)解存在定理，矩陣 的秩 為 時，方程組才有解。上式的解為 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 46） G0)0( ?x G)()()1( kHukGxkx ???)1(,),1(),0( ?nuuu ?0)( ?nx)0(x)()0()(101 iHuGxGkxkiikk ???????48 令 ，且方程兩端左乘 ，有 記 為 矩陣，由子列向量 構(gòu)成的控 制列向量是 維的。 上述研究單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。若令 ，上述結(jié)論同樣成立。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 44） 1S?1S?0d e t 1 ??SnG? ?11 SGr a n kSr a n k n ???? ? nhGhhGr a n k n ?? ? ?11S? ? nhGGhhr a n kr a n k S n ?? ? 11 ?46 當(dāng) 時，系統(tǒng)不可控，表示不存在使任意 轉(zhuǎn)移至 的控制。 由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣 相乘其秩不變，故 交換矩陣的列，且記為 ，其秩也不變，故有 在判斷系統(tǒng)的可控性時，使用上式比較方便。由線性方程組解的存在定理可 知，當(dāng)矩陣 的秩與增廣矩陣 的秩相等時，方 程組有解且為惟一解，否則無解。()()1( ???? kkHukGxkxG43 線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù) 設(shè)單輸入線性定常離 散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 其中 為 維狀態(tài)向量； 為標(biāo)量輸入； 為 非奇異 矩陣。 3）如果離散時間系統(tǒng)是相應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)的時間離散化模 型，則其可控性和可達性必是等價的。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 40） kTkkukHkxkGkx ???? ),()()()()1(kT kTl?)(lx lmTm k ?? ,)(ku 0)( ?mx lkTl?0)( ?lxlmTm k ?? , )(ku )(mxl42 對于離散系統(tǒng)，不管是時變的還是定常的，其可控性和 可達性只有在一定條件下才是等價的。如果對初始時刻 和狀態(tài) 空間中的所有非零狀態(tài) ，都存在時刻 ，和 對應(yīng)的控制 ，使得 ，則稱系統(tǒng)在時刻 為完 全可控。 解： 顯然，此規(guī)范型中 不包含元素全為零的列，故系統(tǒng) 為完全可觀測。11121)(1)(??????????????????????40 且 ，由 的第一 列所組成的矩陣 對 均為列線性無關(guān)。 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分 必要條件分兩種情況： 1）當(dāng)矩陣 的特征值 兩兩相異時，由線性變換 導(dǎo)出的對角線規(guī)范型為 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 36） 0, ??? sA i???),2,1( nii ???A CA0??n??? , 21 ?AxCyxxn?????????????? ,21?????38 式中 不包含元素全為零的列。 ???????????CsnAsICr ank ??????????,)( AsI ? C37 PBH特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充 分必要條件是， 沒有與 的所有行相正交的非零右特征向 量。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 34） ? ? ,21,100 21 ?????????? ??? nr an k Vr anCACr an kr an k V TTT1 1 1 0 2 , 2 ,0 1 1 2T T Tr a n k V r a n k C A C r a n k r a n k V n?????? ? ? ? ????????36 PHB秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條 件是，對矩陣 的所有特征值 ，均有 或等價地表示為 也即 和 是右互質(zhì)的。 例： 判斷下列系統(tǒng)的可觀測性： 1） 2） 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 33） ? ? nCACACACr a n k TnTTTTTT ?? 12 )()( ?,BuAxx ??? Cxy ?? ?01,13,10 02 ????????????????? CBA?????????????? ???????? ??1101,0112,1111 CBA35 解： 1） 故系統(tǒng)不可觀測。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 31） ? ? ? ?0110 ??? DC A BCBSqr a n k S ?? 100?uCxytxxAxx ???? ,0,)0(, 0?y qx n A Cnn? nq?33 格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測的充分 必要條件是，存在有限時刻 ，使如下定義的格拉姆矩 陣： 為非奇異。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 30） uxx ????????????????? 112110?? ?xy 01?? ? ??????????1111ABBS2,0 ?? r an k SS32 輸出可控性矩陣為 ，輸出可控。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 29） ? ?DBCAC A BCBS n 10 ?? ?0S ? ?pnq )1( ??qqra n kS ?031 例： 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。狀態(tài)方程的解為 則輸出 不失一般性，令 ，有 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 27） u p y q x n? ?10 )(01 ,0,)()( 1 11 ttdttBuexetx t ttAAt ??? ? ?)()()( 10 )(01 1 11 tDudttBueCxCety t ttAAt ???? ? ?0)( 1 ?ty? ?? ????????????????1001010110)(011111)()()()()()()(nmtmmtnmmmtttAAttDudttutBACtDudttBuAtCtDudteCxCe??29 令 ，則 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 28） ?? 101 )()()( t mm dttuttu ???????10110 )()(1nmmmAt tDutBuACxCe)()()()( 11111110 tDutBuCAtC A B utC B u nn ?????? ???? ?????????????????????)()()()(11111101tutututuDBCAC A BCBnn??30 令 為 矩陣，稱為輸出一矩陣。 輸出可控性： 若在有限時間間隔 內(nèi)，存在無約束 分段連續(xù)控制函數(shù) ，能使任意初始輸出 轉(zhuǎn) 移到任意最終輸出 ，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡稱 輸出可控。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 23） uBxxn??????????????????? 21)(,),(),( 2211 重重重 ll ?????? ?nl ???? ??? ?2125 由線性變換化為約當(dāng)規(guī)范型 其中 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 24） uBxAx ???? ?????????????????????????????????lpnlnnBBBBJJJA????,? 21)(21)( ??,21)(1??????????????iiiJ i aJJJii??????????????????iiiaiipiBBBB???? 21)( ??26 而 ，由 的最后一 行所組成的矩陣 對 均為行線性無關(guān)。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 22） A Bi?A,TiT A ??? ? 0?BT?0??n??? , 21 ?A24 由線性變換可將狀態(tài)方程變?yōu)閷蔷€規(guī)范型 則系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是，在上式中，不包含元素 全為零的行。 一般地說， PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特 別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。 二、 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 （ 21） 53 ?? ?s? ? 40200100001501015??????????????????? r a n kBAsIr a n k54 ??? ?s? ? 40200100001501015????????????????????? r a n kBAsIr a n k23 PBH特征向量判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分 必要條件是， 不能有與 的所有列相正交的非零左特征向 量。 解