【正文】 niieR SST SS y?????（ 241） 是模型中解釋變量未解釋的那部分離差占總離差的比重 決定系數(shù)（ ） 2R2 1E S S R S SR TS S TS S? ? ? （ 242） 例 24 以例 23為例（ 假設(shè)一個由 100個家庭構(gòu)成的總體，并假設(shè)這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。 2．隨機(jī)誤差項的方差的 最大似然估計量 隨機(jī)誤差項的方差的最大似然估計量可通過對數(shù)似然函數(shù) 202111 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）求得。 4）在滿足基本假設(shè)情況下，一元線性回歸模型的普通最小二乘參數(shù)估計 量是最佳線性無偏估計量。 2）滿足小樣本性質(zhì)的參數(shù)估計量自然也滿足大樣本性質(zhì)。 01 ??、? ?201211 ? ?21m a xniiiYXn e??????? ? ?? （ ）22 參數(shù) 的估計結(jié)果要使得到的模型能以最大概率產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)， （ 220） 就是要使似然函數(shù)極大化，即 由于似然函數(shù)極大化等價于似然函數(shù)的對數(shù) 2012 11 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）（ 221） 的極大化，所以， 根據(jù)微積分中求極限的原理，分別求式（ 221）對 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令求偏導(dǎo)的結(jié)果等于 0， 可得正規(guī)方程組 01? ???、012101211 ? ?[ ( ) ] 01 ? ?[ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X?????????? ? ????? ? ? ?????（ 222） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ??? （ 223） 這就是參數(shù) 01??、 的最大似然估計量 （ maximum likelihood estimators） 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) 統(tǒng)計性質(zhì) 線性性 無偏性 有效性 漸近無偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進(jìn)性質(zhì) ) 線性性 無偏性 有效性 （最小方差性） 漸近無偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進(jìn)性質(zhì) ) —— 指參數(shù)估計量可以表示為被解釋變量 iY的線性組合 —— 指參數(shù)估計量的數(shù)學(xué)期望等于參數(shù)的真實值 —— 指在所有的線性、無偏估計量中該參數(shù)估計量的方差最小 —— 指樣本容量趨于無窮大時，參數(shù)估計量的數(shù)學(xué)期望 趨于參數(shù)的真實值 —— 樣本容量趨于無窮大時，參數(shù)估計量依概率收斂于 參數(shù)的真實值 —— 指樣本容量趨于無窮大時，在所有的一致估計量中 該參數(shù)估計量具有最小的漸近方差。 ） 求關(guān)于家庭消費支出與可支配收入的關(guān)系的一元線性回歸模型 01i i iYX? ? ?? ? ?的 參數(shù) 的普通最小二乘估計值，寫出樣本回歸函數(shù)。估計值指 iY把樣本數(shù)據(jù)代入?yún)?shù)估計公式得到的參數(shù)估計的具體數(shù)值，是確定的數(shù)字。 估計量指以公式表示的參數(shù)的估計，是隨機(jī)變量，其隨機(jī)性源于被解釋變量 。 根據(jù)微積分中求極限的原理，要使式 （ 213）達(dá)到最小， 式 （ 213） 對 01? ???、 的一階偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于 0，即 （ 214） 011011? ?2 [ ( ) ] 0? ?2 [ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?????整理得 01112011 1 1? ? 0? ? 0nniiiin n ni i i ii i in X YX X X Y??????? ? ?? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? （ 215） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ???（ 216） 這就是參數(shù) 01??、的 普通最小二乘估 計量 （ ordinary least squares estimators） 方程組（ 214）或（ 215）稱為 正規(guī)方程組 。 在這 5條假設(shè)中，若前兩條假設(shè)滿足，第 3條自然滿足，因為前兩條假設(shè)成立時有 {[ ] [ ] } [ ] [ ] 0i i i i i ii i i iCov X E X E X EX E X E E? ? ???? ? ?? ? ??（ ， ） （ ） （ ）（ ） （ ） 且由第 2條假設(shè)有 22( ) 1 2iE i n?? ?? ， ，( ) 0 1 2ijE i j i j n?? ? ? ? ， ， ，因為 22{[ ( ) ] } ( )i i i iV a r E E E? ? ? ?? ? ?（）( , ) {[ ] [ ] } ( )i j i i j j i jCov E E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?（ ） （ ）二、參數(shù)的普通最小二乘估計 普通最小二乘法（ ordinary least squares， OLS）的 基本思想 —— 使樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合樣本數(shù)據(jù) 最小二乘法以 21min n iie?? （ 212） 表示被解釋變量的估計值與實際觀察值的偏差總體上最小， 稱為 最小二乘準(zhǔn)則 。即 0 1 2iiCov X i n? ??（ ， ） ， ， ，4） 隨機(jī)誤差項服從正態(tài)分布，即 2~ ( 0 , ) 1 , 2 , ,i N i n?? ?5） 回歸模型是正確設(shè)定的。 e 為殘差項， 其中， Y為被解釋變量， 為解釋變量， 1X 2XkX、 ?、 、 、 0??1?? 2?? ?k?、 、 、 的估計， 是參數(shù) 0? 1? 2? k?、 、 、 、 ◆ 一元線性回歸模型的基本假設(shè) 第二節(jié) 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 ◆ 參數(shù)的普通最小二乘估計 ◆ 參數(shù)的最大似然估計 ◆ 普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) ◆ 普通最小二乘樣本回歸函數(shù)的性質(zhì) ◆ 隨機(jī)誤差項方差的估計 一、一元線性回歸模型的基本假設(shè) 一元線性回歸模型的基本假設(shè)包括 對解釋變量的假設(shè) 、 對隨機(jī)誤差項的 假設(shè) 、 對模型設(shè)定的假設(shè) 幾個方面，主要如下： 1） 解釋變量是確定性變量，不是隨機(jī)變量。 e 為殘差項， 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機(jī)部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 對于例 22中的樣本回歸函數(shù) 01? ??iiYX????引入 殘差項 ie可得樣本回歸模型 01? ?i i iY X e??? ? ?例如： 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機(jī)部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 圖22 不同可支配 收入家庭的 消費支出（ 單位:元 ）5001000150020212500300035001000 2021 3000 4000 5000 6000家庭月可支配收入家庭月消費支出散點圖 樣本回歸線2．樣本回歸模型 引入樣本回歸函數(shù)中的代表各種隨機(jī)因素影響的隨機(jī)變量， 稱為 樣本殘差項 、 回歸殘差項 或 樣本剩余項 、 回歸剩余項 ，簡稱 殘差項或剩余項 （ residual），通常用 ie表示 。 ） 若將家庭月可支配收入 X與消費支出 Y的總體回歸函數(shù)設(shè)定為一元 線性回歸函數(shù)的形式 01/ iiE Y X X????（ ），從而得到樣本回歸函數(shù) 0? 1? 0?? 1??可采用適當(dāng)方法根據(jù) 表 23中的數(shù)據(jù)得到參數(shù) 、 的估計 、 01? ??iiYX???? 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和樣本回歸方程可繪制不同可支配收入家庭的消費支出散點圖、家庭消費支出與可支配收入關(guān)系的樣本回歸線，如圖 22所示。 例 22 假設(shè)沒有取得總體中所有家庭的可支配收入與消費支出數(shù)據(jù)，而是按可支 配收入水平的不同水平調(diào)查取得了一組有代表性的樣本，如表 23所示。 一般情況下，對于只含有乘、除、指數(shù)、冪運算的非線性關(guān)系，可通過 對 數(shù)變化 化為線性關(guān)系，以 CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ii i iQ AK L e ????為例，方程兩邊取對數(shù)，可化為線性形式 l n l n l n l ni i i iQ A K L? ? ?? ? ? ?對于其他復(fù)雜的函數(shù)形式，可通過 級數(shù)展開 化為線性形式 iiiiXYX????????，然后在點 可先根據(jù)所掌握的信息確定參數(shù) ? ? ?、 、 的一組初始值 0?0? 0?、 、 （ ） 0?0? 0?， ， 處對模型作泰勒級數(shù)展開，并取一階近似值，得 例如，對于模型 0 0 00 0 00 0 0iiii i iXXYX X X? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ?（ ） （ ）0 020iiXX?? ????? ? ??0（ ）（ ）（ ） i?? 余項 整理得 0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項 i??0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項 i??令 ， ， 0020iiiiXYYX? ? ???????0（ ）（ ）010iiiXXX?????020iiX X ? ??? ? 0320iiiXXX???????0（ ）（ ） i?? i??余項 原模型可化為 1 2 3i i i i iY X X X? ? ? ??? ? ? ?四、樣本回歸模型 1