【正文】 ?n iiYY???（ ） ESS= 21nii e?? RSS= —— 殘差平方和 反映模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小 這樣，式（ 237）可表示為 T SS ESS RSS?? （ 238） 二、決定系數(shù) T SS ESS RSS?? （ 238） 同除以總體平方和 TSS1 E SS R SSTSS TSS?? （ 239） 2121?niiniiYYE SST SS y??????（ ） （ 240） 是模型中由解釋變量解釋的那部分離差占總離差的比重 2121niiniieR SST SS y?????（ 241） 是模型中解釋變量未解釋的那部分離差占總離差的比重 決定系數(shù)（ ） 2R2 1E S S R S SR TS S TS S? ? ? （ 242） 例 24 以例 23為例（ 假設一個由 100個家庭構成的總體，并假設這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。 4）在滿足基本假設情況下，一元線性回歸模型的普通最小二乘參數(shù)估計 量是最佳線性無偏估計量。 01 ??、? ?201211 ? ?21m a xniiiYXn e??????? ? ?? （ ）22 參數(shù) 的估計結果要使得到的模型能以最大概率產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)， （ 220） 就是要使似然函數(shù)極大化，即 由于似然函數(shù)極大化等價于似然函數(shù)的對數(shù) 2012 11 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）（ 221） 的極大化，所以， 根據(jù)微積分中求極限的原理，分別求式（ 221）對 的一階偏導數(shù)，并令求偏導的結果等于 0， 可得正規(guī)方程組 01? ???、012101211 ? ?[ ( ) ] 01 ? ?[ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X?????????? ? ????? ? ? ?????（ 222） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ??? （ 223） 這就是參數(shù) 01??、 的最大似然估計量 （ maximum likelihood estimators） 四、普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) 統(tǒng)計性質(zhì) 線性性 無偏性 有效性 漸近無偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進性質(zhì) ) 線性性 無偏性 有效性 （最小方差性） 漸近無偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進性質(zhì) ) —— 指參數(shù)估計量可以表示為被解釋變量 iY的線性組合 —— 指參數(shù)估計量的數(shù)學期望等于參數(shù)的真實值 —— 指在所有的線性、無偏估計量中該參數(shù)估計量的方差最小 —— 指樣本容量趨于無窮大時，參數(shù)估計量的數(shù)學期望 趨于參數(shù)的真實值 —— 樣本容量趨于無窮大時，參數(shù)估計量依概率收斂于 參數(shù)的真實值 —— 指樣本容量趨于無窮大時，在所有的一致估計量中 該參數(shù)估計量具有最小的漸近方差。估計值指 iY把樣本數(shù)據(jù)代入?yún)?shù)估計公式得到的參數(shù)估計的具體數(shù)值，是確定的數(shù)字。 根據(jù)微積分中求極限的原理，要使式 （ 213）達到最小， 式 （ 213） 對 01? ???、 的一階偏導數(shù)應等于 0，即 （ 214） 011011? ?2 [ ( ) ] 0? ?2 [ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?????整理得 01112011 1 1? ? 0? ? 0nniiiin n ni i i ii i in X YX X X Y??????? ? ?? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? （ 215） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ???（ 216） 這就是參數(shù) 01??、的 普通最小二乘估 計量 （ ordinary least squares estimators） 方程組（ 214）或（ 215）稱為 正規(guī)方程組 。即 0 1 2iiCov X i n? ??（ ， ） ， ， ，4） 隨機誤差項服從正態(tài)分布，即 2~ ( 0 , ) 1 , 2 , ,i N i n?? ?5） 回歸模型是正確設定的。 e 為殘差項， 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 圖22 不同可支配 收入家庭的 消費支出（ 單位:元 ）5001000150020212500300035001000 2021 3000 4000 5000 6000家庭月可支配收入家庭月消費支出散點圖 樣本回歸線2．樣本回歸模型 引入樣本回歸函數(shù)中的代表各種隨機因素影響的隨機變量， 稱為 樣本殘差項 、 回歸殘差項 或 樣本剩余項 、 回歸剩余項 ，簡稱 殘差項或剩余項 （ residual），通常用 ie表示 。 例 22 假設沒有取得總體中所有家庭的可支配收入與消費支出數(shù)據(jù)，而是按可支 配收入水平的不同水平調(diào)查取得了一組有代表性的樣本，如表 23所示。 201i i iYX? ? ?? ? ? 12in? ， ， ，0 1 1 2 2lni i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，20 1 0 1 221i i i k k i iY X X X? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?（ ）12in? ， ， ， 對于參數(shù)線性、解釋變量非線性的回歸模型，只要稍作變換，就可 化為線性回歸模型的一般形式。 注意： 這里所說的線性函數(shù)和通常意義下的線性函數(shù)不同，這里的線性函數(shù)指 參數(shù)是線性的，即待估參數(shù)都只以一次方出現(xiàn)，解釋變量可以是線性的，也 可以不是線性的。 只含有 一個解釋變量 的線性總體回歸模型稱為 一元線性總體回歸模型， 簡稱一元線性回歸模型或簡單線性回歸模型（ simple linear regression model）， 其一般形式是 01i i iYX? ? ?? ? ? 12in? ， ， ， （ 28） ? i n其中， Y為被解釋變量， X為解釋變量， 0? 1?、 為待估參數(shù)， 為隨機誤差項， 為觀測值下標， 為樣本容量。 2．總體回歸模型 / iE Y X（ ） i? 可由其期望值 和隨機誤差項 表示為 iY 對于只有 一個解釋變量 X的情形，第 i個個體的被解釋變量的觀察值 /i i i i iY E Y X f X????（ ） + （ ） + （ 26） 1 2 1 2/i i i k i i i i k i iY E Y X X X f X X X????（ ， ， ， ） + （ ， ， ， ） +（ 27） iY 12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ） i? 可由其期望值 和隨機誤差項 表示為 對于含有 多個解釋變量 的情形，第 i個個體的被解釋變量的觀察值 1X 2X kX 、 、 、 （ 26）或式（ 27）是總體回歸函數(shù)的個別值表示方式，因為引入了隨機 誤差項，稱為 總體回歸函數(shù)的隨機設定形式 ，也是因為引入了隨機誤差項， 成為計量經(jīng)濟學模型，稱為 總體回歸模型 （ population regression model）。 析： 表 22 100個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù) 單位：元 可支配收入 X 1300 1800 2300 2800 3300 3800 4300 4800 5300 5800 E（ Y/Xi） 1122 1324 1425 1926 2179 2389 2681 2847 3084 3312 由表 2表 22中的數(shù)據(jù)繪制不同可支配收入家庭的消費支出散 點圖、家庭消費支出與可支配收入關系的總體回歸曲線，如圖 21所示。 iX，都有被解釋變量 Y的條件期望 表示對于解釋變量 X的每一個取值 / iE Y X（ ）1 2 1 2/ i i k i i i k iE Y X X X f X X X?（ ， ， ， ） （ ， ， ， ） 對于含有 多個解釋變量 kX1X 2X 、 、 、 的情形，總體回歸函數(shù)為 （ 25） 12i i k iX X X、 、 、12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ）表示對于解釋變量 的每一組取值 ，都有被解釋變量 Y的條件期望 與之對應， 是 的函數(shù)。 隨機誤差項 —— 稱為隨機擾動項或隨機干擾項（ stochastic disturbance） 一般用希臘字母 ? ?或 表示 存在原因 第一，人類的經(jīng)濟行為本身帶有隨機性； 第二，通常一個變量總是受眾多因素的影響； 第三，任何函數(shù)反映經(jīng)濟變量之間的關系都只是一種簡化反映； 第四，經(jīng)濟數(shù)據(jù)來源于調(diào)查統(tǒng)計，而非嚴格的控制實驗； 結論 一個經(jīng)濟變量通常不能被另一個經(jīng)濟變量 完全精確 地決定，需要 引入隨機誤差項來反映各種誤差的綜合影響，主要包括： 1）變量的內(nèi)在隨機性的影響； 2）解釋變量中被忽略的因素的影響； 3）模型關系設定誤差的影響； 4）變量觀察值的觀察誤差的影響； 5）其他隨機因素的影響。 Q f T K L? （ ， ， ）tQ Ae K L? ? ?? 數(shù)理經(jīng)濟模型 用確定性的函數(shù)描述經(jīng)濟變量之間的理論關系，對這 一經(jīng)濟活動，籠統(tǒng)地描述為 或具體地用某一種生產(chǎn)函數(shù)描述為 其中， Q表示產(chǎn)出， T表示技術， K表示資本， L表示勞動， A、 ? ? ?、 、 是未知參數(shù)。 2） 相關分析 主要關注變量之間的相關程度和性質(zhì)，不關注變 量之間的具體依賴關系。 例如 : 居民消費 C與可支配收入 Y之間不僅存在相關關系而且存在因 果關系，不僅可以利用相關分析研究兩者之間的相關程度，還可 以利用回歸分析研究兩者之間的具體依存關系。 繪制變量之間關系的散點圖