【正文】 變量之間的關(guān)系 一、相關(guān)分析與回歸分析 計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究是對經(jīng)濟(jì)變量之間關(guān)系的研究，針對某一具體 經(jīng)濟(jì)問題展開研究時(shí)，首先需要考察的就是相關(guān)經(jīng)濟(jì)變量之間有 沒有關(guān)系、有什么樣的關(guān)系。 極強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系 ,指某一或某幾個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的取值確定后， 對應(yīng)的另一經(jīng)濟(jì)變量的取值能唯一確定，實(shí)際上是確定的 函數(shù)關(guān)系，所以函數(shù)關(guān)系可看作是相關(guān)關(guān)系的特例。 （ 21） 12211()( ) ( )niiiXY nniiiiX X Y YrX X Y Y???????????（ ）（ 22） 1 1 12 2 2 21 1 1 1( ) ( )n n ni i i ii i iXY n n n ni i i ii i i in X Y X Yrn X X n Y Y? ? ?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? （ 23） ? ?iiXY， 12i ? ， ， ， 如果給定變量 X、 Y 的一組樣本 ， 則總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì) —— 樣本相關(guān)系數(shù)為 n ， 或 相關(guān)系數(shù)的取值介于 ?1— 1之間， 取值為負(fù)表示兩變量之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系； 取值為正表示兩變量之間存在正相關(guān)關(guān)系； 取值為 ?1表示兩變量之間存在完全負(fù)相關(guān)關(guān)系； 取值為 0表示兩變量不相關(guān)； 取值為 1表示兩變量之間存在完全正相關(guān)關(guān)系。 二、隨機(jī)誤差項(xiàng) 含有隨機(jī)誤差項(xiàng)是 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 與 數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型 的一大區(qū)別。 描述總體回歸曲線的函數(shù)稱為 總體回歸函數(shù) （ population regression function）。 事實(shí)上，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的總體包含的個(gè)體的數(shù)量往往非常多，一般不 大可能像例 21假設(shè)的那樣得到總體中所有個(gè)體的觀察數(shù)據(jù)，因此也就不 大可能依據(jù)總體的所有觀察數(shù)據(jù)計(jì)算得到被解釋變量 Y的條件期望，無 法畫出精確的總體回歸曲線，相應(yīng)地，總體回歸函數(shù)的具體形式也無法 精確確定。 線性總體回歸模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中 最常見 的總體回歸模型。 一般情況下，對于只含有乘、除、指數(shù)、冪運(yùn)算的非線性關(guān)系，可通過 對 數(shù)變化 化為線性關(guān)系，以 CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ii i iQ AK L e ????為例，方程兩邊取對數(shù)，可化為線性形式 l n l n l n l ni i i iQ A K L? ? ?? ? ? ?對于其他復(fù)雜的函數(shù)形式，可通過 級數(shù)展開 化為線性形式 iiiiXYX????????，然后在點(diǎn) 可先根據(jù)所掌握的信息確定參數(shù) ? ? ?、 、 的一組初始值 0?0? 0?、 、 （ ） 0?0? 0?， ， 處對模型作泰勒級數(shù)展開，并取一階近似值，得 例如，對于模型 0 0 00 0 00 0 0iiii i iXXYX X X? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ?（ ） （ ）0 020iiXX?? ????? ? ??0（ ）（ ）（ ） i?? 余項(xiàng) 整理得 0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項(xiàng) i??0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項(xiàng) i??令 ， ， 0020iiiiXYYX? ? ???????0（ ）（ ）010iiiXXX?????020iiX X ? ??? ? 0320iiiXXX???????0（ ）（ ） i?? i??余項(xiàng) 原模型可化為 1 2 3i i i i iY X X X? ? ? ??? ? ? ?四、樣本回歸模型 1．樣本回歸函數(shù)與樣本回歸曲線 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體回歸函數(shù)作出的估計(jì)稱為 樣本回歸函數(shù) 。 對于例 22中的樣本回歸函數(shù) 01? ??iiYX????引入 殘差項(xiàng) ie可得樣本回歸模型 01? ?i i iY X e??? ? ?例如： 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機(jī)部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 在這 5條假設(shè)中，若前兩條假設(shè)滿足，第 3條自然滿足，因?yàn)榍皟蓷l假設(shè)成立時(shí)有 {[ ] [ ] } [ ] [ ] 0i i i i i ii i i iCov X E X E X EX E X E E? ? ???? ? ?? ? ??（ ， ） （ ） （ ）（ ） （ ） 且由第 2條假設(shè)有 22( ) 1 2iE i n?? ?? ， ，( ) 0 1 2ijE i j i j n?? ? ? ? ， ， ，因?yàn)? 22{[ ( ) ] } ( )i i i iV a r E E E? ? ? ?? ? ?（）( , ) {[ ] [ ] } ( )i j i i j j i jCov E E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?（ ） （ ）二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì) 普通最小二乘法（ ordinary least squares， OLS）的 基本思想 —— 使樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù) 最小二乘法以 21min n iie?? （ 212） 表示被解釋變量的估計(jì)值與實(shí)際觀察值的偏差總體上最小， 稱為 最小二乘準(zhǔn)則 。 ） 求關(guān)于家庭消費(fèi)支出與可支配收入的關(guān)系的一元線性回歸模型 01i i iYX? ? ?? ? ?的 參數(shù) 的普通最小二乘估計(jì)值，寫出樣本回歸函數(shù)。 2．隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的 最大似然估計(jì)量 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的最大似然估計(jì)量可通過對數(shù)似然函數(shù) 202111 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）求得。因?yàn)樾「怕适录且? 次抽樣中幾乎不可能發(fā)生的事件，小概率事件發(fā)生，說明原假設(shè)不真。 ） 利用例 23建立的消費(fèi)函數(shù)模型，求家庭可支配收入為 6000元時(shí)家庭平 均消費(fèi)支出的預(yù)測值。 由于 00? /E Y E Y X?（ ） （ ）可以證明 0?()Var Y ?22 021()1[]niiXXn x?????22 0021()1? []niiXXS E Yn x??????（）所以 22 00021()1? ~ ( / , [ ] )niiXXY N E Y Xn x?????（）2? 2?? 2?用 的無偏估計(jì)量 替代 ，有 000? / ~ 2?Y E Y X tnS E Y? （） （）（）其中 22 0021()1? ? []niiXXS E Yn x?????（ ）=對于給定的顯著性水平 ?0022 0? ( / )( ) 1?Y E Y XP t tS E Y?? ??? ? ? ? ?（）0/E Y X（ ） 1 ??由此可得，總體均值 的置信度為 的預(yù)測置信區(qū)間為 0?[Y2t SE?? 0?Y（） 0?Y02? ]t S E Y?? （） ， （ 250） 例 28 以例 23為例（ 假設(shè)一個(gè)由 100個(gè)家庭構(gòu)成的總體，并假設(shè)這 100個(gè)家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個(gè)家庭的月可支配收入與消費(fèi)數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費(fèi)支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費(fèi)支出平均水平。 0 0 0 00202121? ? 2 ??niiniit t nSEXnx? ? ? ???????????（ ）（ ）（ 245） 1 1 1 11 2121? ? 2 ? ?niit t nSEx? ? ? ?? ???????（ ）（ ） （ 246） 以 1? 為例， *0 1 1 H ???： *1 1 1 H ???： 若針對原假設(shè) ，備擇假設(shè) 進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)原假設(shè) *1111? 2 ?t t nSE????? （ ）（ ）， 接受原假設(shè) *0 1 1 H ???：如果 1t?2[ t??2]t?, 12tt??*0 1 1 H ???： *1 1 1 H ???：則拒絕原假設(shè) ，接受備擇假設(shè) 。 一、離差分解 如圖 23所示 圖 23 被解釋變量的離差 ? ? ? iii i iiiy Y YY Y Y Ye Y Y??? ? ? ?? ? ?（ ） （ ）（ ）= 2 2 21 1 1?n n ni i ii i iy Y Y e? ? ?? ? ?? ? ?（） （ 237） 記 = —— 總體平方和或總離差平方和 反映樣本觀察值的總體離差的大小 —— 回歸平方和 反映模型中由解釋變量解釋的那部分離差的大小 21nii y?? TSS= 21?n iiYY???（ ） ESS= 21nii e?? RSS= —— 殘差平方和 反映模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小 這樣，式（ 237）可表示為 T SS ESS RSS?? （ 238） 二、決定系數(shù) T SS ESS RSS?? （ 238） 同除以總體平方和 TSS1 E SS R SSTSS TSS?? （ 239） 2121?niiniiYYE SST SS y??????（ ） （ 240） 是模型中由解釋變量解釋的那部分離差占總離差的比重 2121niiniieR SST SS y?????（ 241） 是模型中解釋變量未解釋的那部分離差占總離差的比重 決定系數(shù)（ ） 2R2 1E S S R S SR TS S TS S? ? ? （ 242） 例 24 以例 23為例（ 假設(shè)一個(gè)由 100個(gè)家庭構(gòu)成的總體，并假設(shè)這 100個(gè)家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個(gè)家庭的月可支配收入與消費(fèi)數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費(fèi)支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費(fèi)支出平均水平。 01 ??、? ?201211 ? ?21m a xniiiYXn e??????? ? ?? （ ）22 參數(shù) 的估計(jì)結(jié)果要使得到的模型能以最大概率產(chǎn)生樣本數(shù)據(jù)，