【正文】 變量之間的關系 一、相關分析與回歸分析 計量經濟研究是對經濟變量之間關系的研究，針對某一具體 經濟問題展開研究時，首先需要考察的就是相關經濟變量之間有 沒有關系、有什么樣的關系。 極強的相關關系 ,指某一或某幾個經濟變量的取值確定后， 對應的另一經濟變量的取值能唯一確定，實際上是確定的 函數(shù)關系，所以函數(shù)關系可看作是相關關系的特例。 （ 21） 12211()( ) ( )niiiXY nniiiiX X Y YrX X Y Y???????????（ ）（ 22） 1 1 12 2 2 21 1 1 1( ) ( )n n ni i i ii i iXY n n n ni i i ii i i in X Y X Yrn X X n Y Y? ? ?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? （ 23） ? ?iiXY， 12i ? ， ， ， 如果給定變量 X、 Y 的一組樣本 ， 則總體相關系數(shù)的估計 —— 樣本相關系數(shù)為 n ， 或 相關系數(shù)的取值介于 ?1— 1之間， 取值為負表示兩變量之間存在負相關關系； 取值為正表示兩變量之間存在正相關關系； 取值為 ?1表示兩變量之間存在完全負相關關系； 取值為 0表示兩變量不相關； 取值為 1表示兩變量之間存在完全正相關關系。 二、隨機誤差項 含有隨機誤差項是 計量經濟學模型 與 數(shù)理經濟模型 的一大區(qū)別。 描述總體回歸曲線的函數(shù)稱為 總體回歸函數(shù) （ population regression function）。 事實上，經濟活動中的總體包含的個體的數(shù)量往往非常多，一般不 大可能像例 21假設的那樣得到總體中所有個體的觀察數(shù)據(jù)，因此也就不 大可能依據(jù)總體的所有觀察數(shù)據(jù)計算得到被解釋變量 Y的條件期望，無 法畫出精確的總體回歸曲線，相應地，總體回歸函數(shù)的具體形式也無法 精確確定。 線性總體回歸模型是計量經濟學中 最常見 的總體回歸模型。 一般情況下，對于只含有乘、除、指數(shù)、冪運算的非線性關系，可通過 對 數(shù)變化 化為線性關系，以 CobbDauglas生產函數(shù) ii i iQ AK L e ????為例，方程兩邊取對數(shù)，可化為線性形式 l n l n l n l ni i i iQ A K L? ? ?? ? ? ?對于其他復雜的函數(shù)形式，可通過 級數(shù)展開 化為線性形式 iiiiXYX????????，然后在點 可先根據(jù)所掌握的信息確定參數(shù) ? ? ?、 、 的一組初始值 0?0? 0?、 、 （ ） 0?0? 0?， ， 處對模型作泰勒級數(shù)展開，并取一階近似值，得 例如，對于模型 0 0 00 0 00 0 0iiii i iXXYX X X? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ?（ ） （ ）0 020iiXX?? ????? ? ??0（ ）（ ）（ ） i?? 余項 整理得 0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項 i??0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項 i??令 ， ， 0020iiiiXYYX? ? ???????0（ ）（ ）010iiiXXX?????020iiX X ? ??? ? 0320iiiXXX???????0（ ）（ ） i?? i??余項 原模型可化為 1 2 3i i i i iY X X X? ? ? ??? ? ? ?四、樣本回歸模型 1．樣本回歸函數(shù)與樣本回歸曲線 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體回歸函數(shù)作出的估計稱為 樣本回歸函數(shù) 。 對于例 22中的樣本回歸函數(shù) 01? ??iiYX????引入 殘差項 ie可得樣本回歸模型 01? ?i i iY X e??? ? ?例如： 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 在這 5條假設中，若前兩條假設滿足，第 3條自然滿足，因為前兩條假設成立時有 {[ ] [ ] } [ ] [ ] 0i i i i i ii i i iCov X E X E X EX E X E E? ? ???? ? ?? ? ??（ ， ） （ ） （ ）（ ） （ ） 且由第 2條假設有 22( ) 1 2iE i n?? ?? ， ，( ) 0 1 2ijE i j i j n?? ? ? ? ， ， ，因為 22{[ ( ) ] } ( )i i i iV a r E E E? ? ? ?? ? ?（）( , ) {[ ] [ ] } ( )i j i i j j i jCov E E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?（ ） （ ）二、參數(shù)的普通最小二乘估計 普通最小二乘法（ ordinary least squares， OLS）的 基本思想 —— 使樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合樣本數(shù)據(jù) 最小二乘法以 21min n iie?? （ 212） 表示被解釋變量的估計值與實際觀察值的偏差總體上最小， 稱為 最小二乘準則 。 ） 求關于家庭消費支出與可支配收入的關系的一元線性回歸模型 01i i iYX? ? ?? ? ?的 參數(shù) 的普通最小二乘估計值，寫出樣本回歸函數(shù)。 2．隨機誤差項的方差的 最大似然估計量 隨機誤差項的方差的最大似然估計量可通過對數(shù)似然函數(shù) 202111 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）求得。因為小概率事件是一 次抽樣中幾乎不可能發(fā)生的事件，小概率事件發(fā)生，說明原假設不真。 ） 利用例 23建立的消費函數(shù)模型，求家庭可支配收入為 6000元時家庭平 均消費支出的預測值。 由于 00? /E Y E Y X?（ ） （ ）可以證明 0?()Var Y ?22 021()1[]niiXXn x?????22 0021()1? []niiXXS E Yn x??????（）所以 22 00021()1? ~ ( / , [ ] )niiXXY N E Y Xn x?????（）2? 2?? 2?用 的無偏估計量 替代 ，有 000? / ~ 2?Y E Y X tnS E Y? （） （）（）其中 22 0021()1? ? []niiXXS E Yn x?????（ ）=對于給定的顯著性水平 ?0022 0? ( / )( ) 1?Y E Y XP t tS E Y?? ??? ? ? ? ?（）0/E Y X（ ） 1 ??由此可得，總體均值 的置信度為 的預測置信區(qū)間為 0?[Y2t SE?? 0?Y（） 0?Y02? ]t S E Y?? （） ， （ 250） 例 28 以例 23為例（ 假設一個由 100個家庭構成的總體，并假設這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。 0 0 0 00202121? ? 2 ??niiniit t nSEXnx? ? ? ???????????（ ）（ ）（ 245） 1 1 1 11 2121? ? 2 ? ?niit t nSEx? ? ? ?? ???????（ ）（ ） （ 246） 以 1? 為例， *0 1 1 H ???： *1 1 1 H ???： 若針對原假設 ，備擇假設 進行檢驗，根據(jù)原假設 *1111? 2 ?t t nSE????? （ ）（ ）， 接受原假設 *0 1 1 H ???：如果 1t?2[ t??2]t?, 12tt??*0 1 1 H ???： *1 1 1 H ???：則拒絕原假設 ，接受備擇假設 。 一、離差分解 如圖 23所示 圖 23 被解釋變量的離差 ? ? ? iii i iiiy Y YY Y Y Ye Y Y??? ? ? ?? ? ?（ ） （ ）（ ）= 2 2 21 1 1?n n ni i ii i iy Y Y e? ? ?? ? ?? ? ?（） （ 237） 記 = —— 總體平方和或總離差平方和 反映樣本觀察值的總體離差的大小 —— 回歸平方和 反映模型中由解釋變量解釋的那部分離差的大小 21nii y?? TSS= 21?n iiYY???（ ） ESS= 21nii e?? RSS= —— 殘差平方和 反映模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小 這樣，式（ 237）可表示為 T SS ESS RSS?? （ 238） 二、決定系數(shù) T SS ESS RSS?? （ 238） 同除以總體平方和 TSS1 E SS R SSTSS TSS?? （ 239） 2121?niiniiYYE SST SS y??????（ ） （ 240） 是模型中由解釋變量解釋的那部分離差占總離差的比重 2121niiniieR SST SS y?????（ 241） 是模型中解釋變量未解釋的那部分離差占總離差的比重 決定系數(shù)（ ） 2R2 1E S S R S SR TS S TS S? ? ? （ 242） 例 24 以例 23為例（ 假設一個由 100個家庭構成的總體，并假設這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。 01 ??、? ?201211 ? ?21m a xniiiYXn e??????? ? ?? （ ）22 參數(shù) 的估計結果要使得到的模型能以最大概率產生樣本數(shù)據(jù)，