【正文】 00個家庭的 月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800 元、 3300元、 3800元、 4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10 種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示， 要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之 間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總 體的家庭月消費支出平均水平。 可支配收入 X 1300 1800 2300 2800 3300 3800 4300 4800 5300 5800 消費支出 Y 1033 1126 1207 1120 1208 1256 1327 1439 1584 1128 1167 1231 1288 1371 1439 1452 1533 1597 1676 1793 1455 1501 1635 1728 1789 1835 1886 1943 2033 2178 2294 2351 2410 1788 1835 1872 1903 1965 2061 2157 2206 2289 2314 2390 2426 2458 2478 2543 1966 2048 2122 2213 2315 2357 2369 2398 2452 2501 2534 2568 2610 2659 2723 2197 2286 2315 2386 2467 2581 2623 2677 2710 2985 3004 3082 3119 3102 2436 2588 2672 2736 2801 2893 2902 3027 3155 3260 2765 2853 2900 3021 3065 3146 3278 3305 3423 3022 3156 3401 3669 表 21 100個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù) 單位：元 家庭消費支出主要取決于家庭可支配收入，但不是唯一取決于家庭可支 配收入，還會受到其他各種不確定性因素的影響，因而可支配收入相同的不同家庭的消費支出各不相同。 由于是對總體的考察，由表 21可求得家庭可支配收入 X為某一特定數(shù)值 時家庭消費支出 Y的條件分布（ conditional distribution） 1371 / 2300 1 / 11P Y X? ? ?（ ）例如 ， X=2300條件下 ， Y=1371的條件概率等于 1/11， 即 由此可求得對應(yīng)于家庭可支配收入 X的各個水平的家庭消費支出 Y的 條件 均值 （ conditional mean） 或稱為 條件期望 （ conditional expectation） ， 如表 22所示 。 析： 表 22 100個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù) 單位：元 可支配收入 X 1300 1800 2300 2800 3300 3800 4300 4800 5300 5800 E（ Y/Xi） 1122 1324 1425 1926 2179 2389 2681 2847 3084 3312 由表 2表 22中的數(shù)據(jù)繪制不同可支配收入家庭的消費支出散 點圖、家庭消費支出與可支配收入關(guān)系的總體回歸曲線，如圖 21所示。 圖21 不同可支配收入家庭的消費支出（單位: 元）5001000150020212500300035001000 2021 3000 4000 5000 6000家庭月可支配收入家庭月消費支出散點圖 總體回歸曲線圖2 1 不同可支配收入家庭的消費支出（ 單位: 元 ）50010001500202125003000350040001000 2021 3000 4000 5000 6000家庭月可支配收入家庭月消費支出散點圖 總體回歸曲線 從散點圖可以清晰地看出 ， 不同家庭的消費支出雖然存在差異 ， 但總體 趨勢隨可支配收入的增加而增加 ， 總體回歸曲線反映了這一趨勢 。 事實上，經(jīng)濟活動中的總體包含的個體的數(shù)量往往非常多，一般不 大可能像例 21假設(shè)的那樣得到總體中所有個體的觀察數(shù)據(jù)，因此也就不 大可能依據(jù)總體的所有觀察數(shù)據(jù)計算得到被解釋變量 Y的條件期望，無 法畫出精確的總體回歸曲線，相應(yīng)地，總體回歸函數(shù)的具體形式也無法 精確確定。所以，對于總體回歸函數(shù)，通常只能根據(jù)經(jīng)濟理論或?qū)嵺`經(jīng) 驗進行設(shè)定，也就是說，通常需要對總體回歸函數(shù)作出合理的假設(shè)。 2．總體回歸模型 / iE Y X（ ） i? 可由其期望值 和隨機誤差項 表示為 iY 對于只有 一個解釋變量 X的情形，第 i個個體的被解釋變量的觀察值 /i i i i iY E Y X f X????（ ） + （ ） + （ 26） 1 2 1 2/i i i k i i i i k i iY E Y X X X f X X X????（ ， ， ， ） + （ ， ， ， ） +（ 27） iY 12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ） i? 可由其期望值 和隨機誤差項 表示為 對于含有 多個解釋變量 的情形，第 i個個體的被解釋變量的觀察值 1X 2X kX 、 、 、 （ 26）或式（ 27）是總體回歸函數(shù)的個別值表示方式，因為引入了隨機 誤差項，稱為 總體回歸函數(shù)的隨機設(shè)定形式 ，也是因為引入了隨機誤差項， 成為計量經(jīng)濟學(xué)模型，稱為 總體回歸模型 （ population regression model）。 / iE Y X（ ） 12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ）iX 12i i k iX X X、 、 、i? 或 ，是 或 對應(yīng)的 的平均狀態(tài)，反映解釋變量對被解釋變量的影響，稱為 系統(tǒng)性（ systematic） 部分或確定性（ deterministic） 部分； 另一部分 是隨機誤差項 ，是觀察值 圍繞它的期望值 或 反映解釋變量之外的諸多隨機因素對被解釋變量的影響，稱為 非系統(tǒng)性 （ nonsystematic）部分或隨機（ stochastic） 部分。 iY 總體回歸模型中，觀察值 是兩部分之和， 一部分 是 的期望值 iYiYiY / iE Y X（ ） 12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ）的離差（ deviation）， 3．線性總體回歸模型 確定性部分為線性函數(shù)的總體回歸模型稱為 線性總體回歸模型 。 線性總體回歸模型是計量經(jīng)濟學(xué)中 最常見 的總體回歸模型。 只含有 一個解釋變量 的線性總體回歸模型稱為 一元線性總體回歸模型， 簡稱一元線性回歸模型或簡單線性回歸模型（ simple linear regression model）， 其一般形式是 01i i iYX? ? ?? ? ? 12in? ， ， ， （ 28） ? i n其中， Y為被解釋變量， X為解釋變量， 0? 1?、 為待估參數(shù)， 為隨機誤差項， 為觀測值下標， 為樣本容量。 稱為回歸系數(shù) （ regression coefficients）， 3．線性總體回歸模型 確定性部分為線性函數(shù)的總體回歸模型稱為線性總體回歸模型。 線性總體回歸模型是計量經(jīng)濟學(xué)中 最常見 的總體回歸模型。 含有 多個解釋變量 的線性總體回歸模型稱為 多元線性總體回歸模型 ，簡稱 多元線性回歸模型（ multiple linear regression model），其一般形式是 0 1 1 2 2i i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ， （ 29） 其中， Y為被解釋變量， 為解釋變量， 為待估參數(shù)，即回歸系數(shù)， 1X 2X kX、 、 、 0? 1? 2? k?、 、 、 ? i n為隨機誤差項， 為觀測值下標， 為樣本容量。 注意： 這里所說的線性函數(shù)和通常意義下的線性函數(shù)不同，這里的線性函數(shù)指 參數(shù)是線性的，即待估參數(shù)都只以一次方出現(xiàn)，解釋變量可以是線性的，也 可以不是線性的。 例如： 01 lni i iYX? ? ?? ? ? 12in? ， ， ， 都是線性回歸模型。 20 1 1 2 2i i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，30 1 1 2 1 2 2/8i i i i k k i i iY X X X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）12in? ， ， ， 注意： 這里所說的線性函數(shù)和通常意義下的線性函數(shù)不同，這里的線性函數(shù)指 參數(shù)是線性的，即待估參數(shù)都只以一次方出現(xiàn)，解釋變量可以是線性的，也 可以不是線性的。 例如： 都不是線性回歸模型。 201i i iYX? ? ?? ? ? 12in? ， ， ，0 1 1 2 2lni i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，20 1 0 1 221i i i k k i iY X X X? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?（ ）12in? ， ， ， 對于參數(shù)線性、解釋變量非線性的回歸模型，只要稍作變換，就可 化為線性回歸模型的一般形式。 例如： 模型 20 1 1 2 2i i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ， 211iiXX?? 22iiXX??ki kiXX??令 ， ， ， ，可將模型化為 0 1 1 2 2i i i k k i iY X X X? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ，4．線性回歸模型的普遍性 例如，著名的 CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)為冪函數(shù)形式， 著名的菲利普斯曲線（ Phillips curves）表現(xiàn)為雙曲線形式。 一般情況下，對于只含有乘、除、指數(shù)、冪運算的非線性關(guān)系，可通過 對 數(shù)變化 化為線性關(guān)系，以 CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ii i iQ AK L e ????為例，方程兩邊取對數(shù)，可化為線性形式 l n l n l n l ni i i iQ A K L? ? ?? ? ? ?對于其他復(fù)雜的函數(shù)形式，可通過 級數(shù)展開 化為線性形式 iiiiXYX????????，然后在點 可先根據(jù)所掌握的信息確定參數(shù) ? ? ?、 、 的一組初始值 0?0? 0?、 、 （ ） 0?0? 0?， ， 處對模型作泰勒級數(shù)展開，并取一階近似值，得 例如，對于模型 0 0 00 0 00 0 0iiii i iXXYX X X? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ?（ ） （ ）0 020iiXX?? ????? ? ??0（ ）（ ）（ ） i?? 余項 整理得 0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項 i??0 0 0 0 0220 0 0 0i i iii i i iX X XYX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00（ ） （ ）（ ） （ ）+余項 i??令 ， ， 0020iiiiXYYX? ? ???????0（ ）（ ）010iiiX