【正文】 （ 220） 就是要使似然函數(shù)極大化，即 由于似然函數(shù)極大化等價(jià)于似然函數(shù)的對(duì)數(shù) 2012 11 ? ?ln2niiin Y X? ? ? ?? ?? ? ? ??2（ 2 ） （ ）（ 221） 的極大化，所以， 根據(jù)微積分中求極限的原理，分別求式（ 221）對(duì) 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令求偏導(dǎo)的結(jié)果等于 0， 可得正規(guī)方程組 01? ???、012101211 ? ?[ ( ) ] 01 ? ?[ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X?????????? ? ????? ? ? ?????（ 222） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ??? （ 223） 這就是參數(shù) 01??、 的最大似然估計(jì)量 （ maximum likelihood estimators） 四、普通最小二乘參數(shù)估計(jì)量的性質(zhì) 統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 線性性 無(wú)偏性 有效性 漸近無(wú)偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進(jìn)性質(zhì) ) 線性性 無(wú)偏性 有效性 （最小方差性） 漸近無(wú)偏性 一致性 漸近有效性 小樣本性質(zhì) 大樣本性質(zhì) (漸進(jìn)性質(zhì) ) —— 指參數(shù)估計(jì)量可以表示為被解釋變量 iY的線性組合 —— 指參數(shù)估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于參數(shù)的真實(shí)值 —— 指在所有的線性、無(wú)偏估計(jì)量中該參數(shù)估計(jì)量的方差最小 —— 指樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，參數(shù)估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望 趨于參數(shù)的真實(shí)值 —— 樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，參數(shù)估計(jì)量依概率收斂于 參數(shù)的真實(shí)值 —— 指樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，在所有的一致估計(jì)量中 該參數(shù)估計(jì)量具有最小的漸近方差。 根據(jù)微積分中求極限的原理，要使式 （ 213）達(dá)到最小， 式 （ 213） 對(duì) 01? ???、 的一階偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于 0，即 （ 214） 011011? ?2 [ ( ) ] 0? ?2 [ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?????整理得 01112011 1 1? ? 0? ? 0nniiiin n ni i i ii i in X YX X X Y??????? ? ?? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? （ 215） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ???（ 216） 這就是參數(shù) 01??、的 普通最小二乘估 計(jì)量 （ ordinary least squares estimators） 方程組（ 214）或（ 215）稱為 正規(guī)方程組 。 e 為殘差項(xiàng)， 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機(jī)部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 例 22 假設(shè)沒有取得總體中所有家庭的可支配收入與消費(fèi)支出數(shù)據(jù)，而是按可支 配收入水平的不同水平調(diào)查取得了一組有代表性的樣本，如表 23所示。 注意： 這里所說的線性函數(shù)和通常意義下的線性函數(shù)不同，這里的線性函數(shù)指 參數(shù)是線性的，即待估參數(shù)都只以一次方出現(xiàn)，解釋變量可以是線性的，也 可以不是線性的。 2．總體回歸模型 / iE Y X（ ） i? 可由其期望值 和隨機(jī)誤差項(xiàng) 表示為 iY 對(duì)于只有 一個(gè)解釋變量 X的情形，第 i個(gè)個(gè)體的被解釋變量的觀察值 /i i i i iY E Y X f X????（ ） + （ ） + （ 26） 1 2 1 2/i i i k i i i i k i iY E Y X X X f X X X????（ ， ， ， ） + （ ， ， ， ） +（ 27） iY 12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ） i? 可由其期望值 和隨機(jī)誤差項(xiàng) 表示為 對(duì)于含有 多個(gè)解釋變量 的情形，第 i個(gè)個(gè)體的被解釋變量的觀察值 1X 2X kX 、 、 、 （ 26）或式（ 27）是總體回歸函數(shù)的個(gè)別值表示方式，因?yàn)橐肓穗S機(jī) 誤差項(xiàng)，稱為 總體回歸函數(shù)的隨機(jī)設(shè)定形式 ，也是因?yàn)橐肓穗S機(jī)誤差項(xiàng)， 成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，稱為 總體回歸模型 （ population regression model）。 iX，都有被解釋變量 Y的條件期望 表示對(duì)于解釋變量 X的每一個(gè)取值 / iE Y X（ ）1 2 1 2/ i i k i i i k iE Y X X X f X X X?（ ， ， ， ） （ ， ， ， ） 對(duì)于含有 多個(gè)解釋變量 kX1X 2X 、 、 、 的情形，總體回歸函數(shù)為 （ 25） 12i i k iX X X、 、 、12/ i i k iE Y X X X（ ， ， ， ）表示對(duì)于解釋變量 的每一組取值 ，都有被解釋變量 Y的條件期望 與之對(duì)應(yīng)， 是 的函數(shù)。 Q f T K L? （ ， ， ）tQ Ae K L? ? ?? 數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型 用確定性的函數(shù)描述經(jīng)濟(jì)變量之間的理論關(guān)系，對(duì)這 一經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，籠統(tǒng)地描述為 或具體地用某一種生產(chǎn)函數(shù)描述為 其中， Q表示產(chǎn)出， T表示技術(shù)， K表示資本， L表示勞動(dòng)， A、 ? ? ?、 、 是未知參數(shù)。 例如 : 居民消費(fèi) C與可支配收入 Y之間不僅存在相關(guān)關(guān)系而且存在因 果關(guān)系，不僅可以利用相關(guān)分析研究?jī)烧咧g的相關(guān)程度，還可 以利用回歸分析研究?jī)烧咧g的具體依存關(guān)系。 相關(guān)關(guān)系的分類 c)按照相關(guān)的性質(zhì) 正相關(guān) 負(fù)相關(guān) 指不同經(jīng)濟(jì)變量的變化趨勢(shì)一致，即一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的 取值由小變大時(shí)，另一經(jīng)濟(jì)變量的取值也由小變大； 指不同經(jīng)濟(jì)變量的變化趨勢(shì)相反，即一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的 取值由小變大時(shí)，另一經(jīng)濟(jì)變量的取值由大變小。 1) 某一商品的銷售收入 Y與單價(jià) P、銷售數(shù)量 Q之間的關(guān)系 Y = PQ 2) 某一農(nóng)作物的產(chǎn)量 Q與單位面積產(chǎn)量 q 、種植面積 S之間的關(guān)系 Q = q S 例如 : 相關(guān)關(guān)系 指不同經(jīng)濟(jì)變量的變化趨勢(shì)之間存在某種不確定的聯(lián)系，某一或 某幾個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的取值確定后，對(duì)應(yīng)的另一經(jīng)濟(jì)變量的取值雖不能唯 一確定，但按某種規(guī)律有一定的取值范圍。方法 例如 : 相關(guān)關(guān)系的表達(dá)式一般表示為含有未知參數(shù)的函數(shù)形式，需要進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。 不確定的相關(guān)關(guān)系，隱含著某種經(jīng)濟(jì)規(guī)律，是有關(guān)研究的重點(diǎn) 2. 相關(guān)分析 一、相關(guān)分析與回歸分析 研究變量之間的相關(guān)關(guān)系的形式和程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，主要 通過繪制變量之間關(guān)系的散點(diǎn)圖和計(jì)算變量之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行。 區(qū)別： 1） 相關(guān)分析 僅僅是從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上測(cè)度變量之間的相關(guān)程度， 不考慮兩者之間是否存在因果關(guān)系，因而變量的地位在相 關(guān)分析中是對(duì)等的； 回歸分析 是對(duì)變量之間的因果關(guān)系的分析，變量的地位是 不對(duì)等的，有被解釋變量和解釋變量之分。 tQ A e K L e? ? ? ??l n l n l n l nQ A t K L? ? ? ?? ? ? ? ? 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 用隨機(jī)方程揭示經(jīng)濟(jì)變量之間的因果關(guān)系，對(duì)于這 一經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，與上述數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型相對(duì)應(yīng)，描述為 或描述為對(duì)數(shù)線性函數(shù)形式 其中， ? 是隨機(jī)誤差項(xiàng)。 由于是對(duì)總體的考察，由表 21可求得家庭可支配收入 X為某一特定數(shù)值 時(shí)家庭消費(fèi)支出 Y的條件分布（ conditional distribution） 1371 / 2300 1 / 11P Y X? ? ?（ ）例如 ， X=2300條件下 ， Y=1371的條件概率等于 1/11， 即 由此可求得對(duì)應(yīng)于家庭可支配收入 X的各個(gè)水平的家庭消費(fèi)支出 Y的 條件 均值 （ conditional mean） 或稱為 條件期望 （ conditional expectation） ， 如表 22所示 。 線性總體回歸模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中 最常見 的總體回歸模型。 例如： 都不是線性回歸模型。 從圖中可以清晰地看出，樣本回歸線是通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的較好的擬合對(duì)總 體回歸線作出的一種估計(jì)。 2） 隨機(jī)誤差項(xiàng)具有 0均值、同方差，且在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)，即 0 1 2iE i n? ??（ ） ， ， ，2 12iVa r i n????（ ） ， ， ，0 1 2ijCov i j i j n?? ? ? ?（ ， ） ， ， ， ，3） 隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量不相關(guān)。因?yàn)? 等于其條件均值與隨機(jī)誤差項(xiàng)之和，是一個(gè)隨機(jī)變量。 3）在小樣本性質(zhì)不滿足的情況下，應(yīng)擴(kuò)大樣本容量，考察大樣本性質(zhì)。 之下， 0 0 0 00202121? ? 2 ??niiniit t nSEXnx? ? ? ???????????（ ）（ ） 1 1 1 11 2121? ? 2 ? ?niit t nSEx? ? ? ?? ???????（ ）（ ）00022 0?( ) 1?P t t tSE???? ???? ? ? ? ? ?（）11122 1?( ) 1?P t t tSE???? ???? ? ? ? ? ?（）區(qū)間 22 tt???（ 、 ） 由此可得 0?( P ?02?t SE? ?? （） 00?????02? ) 1t S E? ??? ? ?（）1?( P ?12?t SE? ?? （） 11???? ? ? 12? ) 1t S E? ????（）所以，在 顯著性水平下，參數(shù) 的置信區(qū)間分別為 ?01 ??、（ 247） 0 0 0 022? ? ? ?[ , ]t S E t S E??? ? ? ???（ ） （ ）1 1 1 122? ? ? ?[ , ]t S E t S E??? ? ? ???（ ） （ ）（ 248） 例 25 以例 23為例（ 假設(shè)一個(gè)由 100個(gè)家庭構(gòu)成的總體，并假設(shè)這 100個(gè)家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個(gè)家庭的月可支配收入與消費(fèi)數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費(fèi)支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測(cè)算該總體的家庭月消費(fèi)支出平均水平。 ） 析： 檢驗(yàn)家庭可支配收入對(duì)消費(fèi)支出的影響是否顯著，顯著性水平 ? 取