【正文】 dCkq ????模型假設(shè) 1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。 問題分析 無窮空間由瞬時點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。 不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。vlbe 2)(21?????????? ????? vblavl eebavawQ 12 39。 1 ?2/1)( rr ?????????? ??? ?vblaa M eQ vl21 12??煙草 為什么有作用 ? 1） Q與 a,M成正比， aM是毒物集中在 x=l 處的吸入量 2) ~過濾嘴因素， ?, l2 ~ 負(fù)指數(shù) 作用 vle 2??vla M e 2?? 是毒物集中在 x=l1 處的吸入量 3） ?(r)~ 煙草的吸收作用 b, l1~ 線性 作用 福 州 大 學(xué) 45 ?????? ????vblavbleebavawQ 12 39。/00 1),(?vlvutlb eetuta u wtlq 21 )(),(),( ??????????? ??? ? vbutaaeawtutw39。+a=1 3）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的 (單位時間 )吸收率分別是 b和 ? 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù) v，香煙燃燒速度是常數(shù) u， v u Q ~ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量 福 州 大 學(xué) 40 vxlxlxqlxxbqxxqxq ???????????????? ????,)(,0,)()()(11??????????????lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(?ulTdttlqQ T /,),(0 1? ??模型建立 xx ??)(xq )( xxq ??xv0 x1llt=0, x=0，點(diǎn)燃香煙 0)0,( wxw ?000)0(uwHaHq??q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求 q(x,0)=q(x) 福 州 大 學(xué) 41 ??????????????lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11 ?),()( tutuwtH ?????????????????lxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11 ?vlvutlbeetuta u wtlq 21)(),(),(?????t時刻，香煙燃至 x=ut 1) 求 q(x,0)=q(x) 2) 求 q(l,t) 福 州 大 學(xué) 42 tv txqbtxwttxw ????? ),(),(),(???????????0)()0,(),(wxwetuta u wvbtwvutxbaaaeawtutw vbuta????????? ????1,1),(39。 問題 香煙過濾嘴的作用 福 州 大 學(xué) 39 模型假設(shè) 定性分析 ??????? QvaMl , 2? ?, 1 ???? Qlb ????? Qu1） l1~煙草長， l2~過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量 M均勻分布，密度 w0=M/l1 2）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是 a180。 模型分析 ? 分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。福 州 大 學(xué) 1 第五章 微分方程模型 傳染病模型 經(jīng)濟(jì)增長模型 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn) 藥物在體內(nèi)的分布與排除 香煙過濾嘴的作用 人口預(yù)測和控制 煙霧的擴(kuò)散與消失 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn) 福 州 大 學(xué) 2 動態(tài)模型 ? 描述對象特征隨時間 (空間 )的演變過程 ? 分析對象特征的變化規(guī)律 ? 預(yù)報對象特征的未來性態(tài) ? 研究控制對象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè) ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 福 州 大 學(xué) 3 傳染病模型 問題 ? 描述傳染病的傳播過程 ? 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 ? 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 ? 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型 福 州 大 學(xué) 4 已感染人數(shù) (病人 ) i(t) ? 每個病人每天有效接觸(足以使人致病 )人數(shù)為 ? 模型 1 假設(shè) ttititti ????? )()()( ?若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加 必須區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 建模 0)0( iiidtdi?? ?????? itteiti ?0)( ?? 福 州 大 學(xué) 5 sidtdi ??1)()( ?? tits模型 2 區(qū)分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 ) 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人和健康 人的 比例分別為 )(),( tsti 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為 ?, 且 使接觸的健康人致病 建模 ttNitstittiN ????? )()]([)]()([ ?????????0)0()1(iiiidtdi?? ~ 日 接觸率 SI 模型 福 州 大 學(xué) 6 teiti?????????????1111)(0????????0)0()1(iiiidtdi?模型 2 1/2 tm i i0 1 0 t ???????? ?? ? 11ln01it m ?tm~傳染病高潮到來時刻 ? (日接觸率 )? ? tm? 1???? itLogistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大 福 州 大 學(xué) 7 模型 3 傳染病無免疫性 ——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS 模型 3）病人每天治愈的比例為 ? ? ~日 治愈率 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??建模 ??? /?? ~ 日接觸率 1/? ~感染期 ? ~ 一個感染期內(nèi) 每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為 接觸數(shù) 。 ?????????0)0()1(iiiiidtdi??福 州 大 學(xué) 8 ??????????1,01,11)(???i)]11([ ?? ???? iidtdi模型 3 i0 i0 接觸數(shù) ? =1 ~ 閾值 ??? /?1?? ?? )(ti形曲線增長按 Sti )(?感染期內(nèi) 有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 小01i??11/? i0 iiidtdi ?? ??? )1(模型 2(SI模型 )如何看作模型 3(SIS模型 )的特例 i di/dt 0 1 ? 1 0 t i ? 1 11/? i 0 t ? ?1 di/dt 0 福 州 大 學(xué) 9 模型 4 傳染病有免疫性 ——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱 移出者 SIR模型 假設(shè) 1）總?cè)藬?shù) N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為 )(),(),( trtsti2）病人的日接觸率 ? , 日 治愈率 ?, 接觸數(shù) ? = ? / ? 建模 1)()()( ??? trtits需建立 的兩個方程 )(),(),( trtsti福 州 大 學(xué) 10 ttNittitNstittiN ??????? )()()()]()([ ??模型 4 SIR模型 很?。┩ǔ?000 )0((1 rrsi ???無法求出 的解析解 )(),( tsti在相平面 上 研究解的性質(zhì) is ~ttitNststtsN ?????? )()()]()([ ????????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???福 州 大 學(xué) 11 ????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????模型 4 ???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi?????? /?消去 dt SIR模型 }1,0,0),{( ????? isisisD相軌線 的定義域 )(si相軌線 1 1 s i 0 D 在 D內(nèi)作相軌線 的圖形，進(jìn)行分析 )(si福 州 大 學(xué) 12 s i 1 0 1 D 模型 4 SIR模型 相軌線 及其分析 )(si???????????????00)0(,)0( ssiisidtdsisidtdi???????????? 0011iisdsdiss?000 ln1)()(sssissi?????0ln1000 ??????? sssiss?滿足miis ?? ,/1 ?傳染病蔓延 傳染病不蔓延 s(t)單調(diào)減 ?相軌線的方向 0, ??? itP1 ?s0 ?/1im ?sP1: s01/? ? i(t)先升后降至 0 P2: s01/? ? i(t)單調(diào)降至 0 1/?~閾值 P3 P4 P2 S0 福 州 大 學(xué) 13 ?????ssss00 lnln?模型 4 SIR模型 預(yù)防傳染病蔓延的手段 ? (日接觸率 )? ? 衛(wèi)生水平 ? ?(日 治愈率 )? ? 醫(yī)療水平 ? 傳染病不蔓延的條件 ——s01/? ? 的估計(jì) 0ln1000 ?????? sssis?0i忽略? 降低 s0 提高 r0 1000 ??? ris? 提高閾值 1/? 降低 ?(=?/?) ? ?, ? ? 群體免疫 福 州 大 學(xué) 14 模型 4 SIR模型 被傳染人數(shù)的估計(jì) 0ln1000 ?????? sssis?記被傳染人數(shù)比例 ??? ssx 00)211( 200??? ?? sxsx0)1ln (10??? sxx ?)1(2 00 ?? ?? ssx?2?xxs0 i 0 ?s ?/1P1 0ss? i0 ?0, s0 ?1 ? 小 , s0 ? ?1 提高閾值 1/??降低 被傳染人數(shù)比例 x s0 1/? = ? 福 州 大 學(xué) 15 經(jīng)濟(jì)增長模型 增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟(jì) 增加投資 增加勞動力 提高技術(shù) ? 建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系 ? 研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大 ? 調(diào)