【正文】 150 yuan at that time). ? Starting from 2022 (a) The Chinese Ministry of Health integrated the infant HepB vaccination into the National Immunization Programme with vaccine provided entirely by the government。 圖 414給出了（ ） 式曲線的圖形，可用醫(yī)療單位每天實際登錄數(shù)進行比較擬合得最優(yōu)曲線。 ( 1 )dr li l n r sdt ? ? ? ? ?roS S e ???及： 注意到： 可得 ： ( 1 )rodr l n r s edt ??? ? ? ? （ ） 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總人數(shù)的百分比不會太大，故 一般是小量。 （ 3） 種群不可能因為某種傳染病而絕滅 。 ??圖 414 綜上所述 ， 模型 3指出了傳染病的以下特征： （ 1） 當人群中有人得了某種傳染病時 ， 此疾病并不一定流傳 ， 僅當易受感染的人數(shù)與超過閥值時 ， 疾病才會流傳起來 。 os ???0didt?鑒于在本模型中的作用， 被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)的閥值。但在 i(t)增加的同時， 伴隨地有 s(t)單減。 kl??下面對 進行討論，請參見右圖 ?0didt?如果 ， 則有 ，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來。分別記 t時刻的三類人數(shù)為s(t)、 i(t)和 r(t)，則可建立下面的三房室模型： 模型 3 infective recovered susceptible k l 由 (1)式可得： d i d s d s d slid t d t d t s d t?? ? ? ? ? ?從而解得： 1()()( ) ( ) l n()( ) 1 ( ) ( )ooortosti t i s s tss t s er t n i t s t????? ? ? ????? ????? ? ? ??積分得： ()( ) ( ) l nooosti t i s s ts?? ? ? ?（ ） 不難驗證，當 t→ +∞ 時， r(t)趨向于一個常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。 模型 2仍有不足之處，它無法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當時間趨與無窮時，模型預測最終所有人都得病，與實際情況不符。醫(yī)學上稱曲線 為傳染病曲線，并稱 最大值時刻 t1為此傳染病的流行高峰。 () odi kidti o i? ???? ??則可導出： 故可得： () ktoi t i e? () 模型 2 記 t時刻的病人數(shù)與易感染人數(shù) （ susceptible） 分別為i(t)與 s(t)，初始時刻的病人數(shù)為 i。 問題的提出： 設某地區(qū)共有 n+1人，最初時刻共有 i人得病， t時刻已感染（ infective）的病人數(shù)為 i(t)，假定每一已感染者在單位時間內(nèi)將疾病傳播給 k個人（ k稱為該疾病的傳染強度），且設此疾病既不導致死亡也不會康復 模型 1 此模型即 Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應的多房室模型。 I II k12 k21 兩房室系統(tǒng) 圖 410 圖 410表示的是一種常見的兩房室模型，其間的 k12表示由室 I滲透到室 II的變化率前的系數(shù)，而 k21則表示由室 II返回室 I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應當用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。藥物進入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個器官。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關，找到治療、預防的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實際的幻想。但事實上，抗生素類藥物對 SARS的控制與治療絲毫不起作用。 SARS的突如其來，形成了 “ 外行不懂、內(nèi)行陌生 ” 的情況。在實驗中研究人員要測定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗據(jù)估計最少也需要數(shù)年時間。 新藥品、新疫苗在臨床應用前必須經(jīng)過較長時間的基礎研究、小量試制、中間試驗、專業(yè)機構評審及臨床研究。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同，（注：為達到治療目的，血藥濃度應達到某一有效濃度，并使之維持一特定的時間長度）。當 k1k時，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學上被稱為觸發(fā)翻轉（ flipflop）。 情況 3 口服藥或肌注 y(t) x(t) K1y K1x 環(huán)境 機體 外部藥物 口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。故： 0( ) (1 )ktKC t eVk ???（第一次） 0≤ t≤ T1 11 ()0( ) ( 1 )k T k t TKC t e eVk? ? ???T1≤ t≤ T1 +T2 類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的不同。設機體的體積為 V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為 D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程： 0(0)dx kxdtxD? ????? ??（ ） 情況 2 恒速靜脈點滴 機體 環(huán)境 ()xt dxdt??????出(0) 0x ?恒定速率輸入房室 0Kdtdx ????????藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即 : 0dx Kdt ??? ?????則體內(nèi)藥物總量滿足： 0dx K k xdt ??（ x(0)=0） （ ） 這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為： 0( ) (1 )ktKx t ek??? 0( ) (1 )ktKC t eVk???或 易見 ： 0lim () KCtt Vk?? ??稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度 對于多次點滴，設點滴時間為 T1，兩次點滴之間的間隔時間設為 T2， 則在第一次點滴結束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。兩者都很簡單，意圖在于介紹建模方法。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或將其剖分成若干個相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 所以初期應采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有 20%用戶到有80%用戶這段時期，應該大批量生產(chǎn)；后期則應適時轉產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效果。 實際調(diào)查表明，銷售曲線與 Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。 由 x’’(t0)=0，可以得出 =1，此時， 。 設需求量有一個上界，并記此上界為 K，記 t時刻已銷售出的電飯煲數(shù)量為 x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律： (1 )dx xxdt K??記比例系數(shù)為 k， 則 x(t)滿足： (1 )dx xkxdt K??此方程即 Logistic模型，解為： () 1 Kk tKxt Ce ?? ?還有兩個解 : x=0和 x=K 對 x(t)求一階、兩階導數(shù)： 2239。 1 新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟學家和社會學家一直很關心新產(chǎn)品的推銷速度問題。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。后一模型則假設環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。 375()1 7 4 tNt e ?? ?圖 46 Malthus模型和 Logistic模型的總結 Malthus模型和 Logistic模型 均為對微分方程（ ）所作的模擬近似方程。 大量實驗資料表明用 Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。F設環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為 K（近似地將 K看成常數(shù)）， N表示當前的種群數(shù)量， KN恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（ ）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結果的支持，這就是（ ）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。一次項系數(shù)是負的，因為當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。 為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。 所以 Malthus模型假設的人口 凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應當與人口數(shù)量有關。 故 馬爾薩斯模型是不完善的。 1950 2022 2050 2100 2150 220000 . 511 . 522 . 533 . 5x 1 011t/ 年N/人馬爾薩斯模型人口預測模型預測 假如人口數(shù)真能保持每 ，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。 令種群數(shù)量翻一番所需的時間為 T，則有： 002 rTN N e?ln 2Tr?故 模型檢驗 比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實