【正文】 微分方程模型 理學(xué)院 岳宗敏 ? 在研究實(shí)際問題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)， 這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。 ? 求解微分方程有三種方法： 1）求精確解； 2）求數(shù)值解（近似解）； 3）定性理論方法。 動(dòng)態(tài)模型 ? 描述對象特征隨時(shí)間 (空間 )的演變過程 ? 分析對象特征的變化規(guī)律 ? 預(yù)報(bào)對象特征的未來性態(tài) ? 研究控制對象特征的手段 ? 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 ? 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè) ? 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 建立微分方程模型的方法 （ 1）根據(jù)規(guī)律列方程 利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來建立微分方程模型。 （ 2）微元分析法 利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。 （ 3）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。 為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。 本節(jié)將建立幾個(gè)簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。 美麗的大自然 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。 離散化為連續(xù)，方便研究 Malthus模型與 Logistic模型 模型 1 馬爾薩斯（ Malthus）模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率 r基本上是一常數(shù)，（ r=bd,b為出生率，d為死亡率） 1 dN rN dt ?dN rNdt ?或 （ ） 0()0() r t tN t N e ?? （ ） （ ） 的解為： 其中 N0=N(t0)為初始時(shí)刻 t0時(shí)的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn) ： 種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的 。 令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為 T，則有： 002 rTN N e?ln 2Tr?故 模型檢驗(yàn) 比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如， 1961年世界人口數(shù)為 （即 109），人口增長率約為 2%，人口數(shù)大約每 35年增加一倍。檢查 1700年至 1961的 260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每 ，兩者也幾乎相同。 1950 2022 2050 2100 2150 220000 . 511 . 522 . 533 . 5x 1 011t/ 年N/人馬爾薩斯模型人口預(yù)測模型預(yù)測 假如人口數(shù)真能保持每 ，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到 2510年，人口達(dá) 2 1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有 ，而到 2670年，人口達(dá) 36 1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。 故 馬爾薩斯模型是不完善的。 幾何級數(shù)的增長 Malthus模型 實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。 所以 Malthus模型假設(shè)的人口 凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。 模型 2 Logistic模型 人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有： ()dN r N Ndt ?（ ） r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求 。 為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)） 對馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競爭項(xiàng)），令 r(N)=raN 此時(shí)得到微分方程： ()dN r a N Ndt ?? (1 )d N NrNd t K??或 （ ） （ ） 被稱為 Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（ Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競爭項(xiàng)。 （ ） 可改寫成： ()dN k K N Ndt ?? （ ） 還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為 K（近似地將 K看成常數(shù)）， N表示當(dāng)前的種群數(shù)量， KN恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（ ）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（ ）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。 圖 45 對 （ ） 分離變量： 11 d N k K d tN K N?????????兩邊積分并整理得： 1 k KtKNCe ?? ?令 N(0)=N0，求得： 00KNCN??故 （ ） 的滿足初始條件 N(0)=N0的解為： 000() () k K tNKNt N K N e ?? ?? （ ） 易見： N(0)=N0 ， lim ( )t N t K? ?? ?N(t)的圖形請看圖 模型檢驗(yàn) 用 Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？ 1945年克朗皮克（ Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（ EFGauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和 Logistic曲線十分吻合。 大量實(shí)驗(yàn)資料表明用 Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯 把 5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天 %的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與 r=， a=， N(0)=5的 Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見圖 。 375()1 7 4 tNt e ?? ?圖 46 Malthus模型和 Logistic模型的總結(jié) Malthus模型和 Logistic模型 均為對微分方程（ ）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率 r為一常數(shù)，（ r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競爭項(xiàng)。 用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進(jìn)行修改。 Malthus模型與 Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。 1 新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯煲銷售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為 K，記 t時(shí)刻已銷售出的電飯煲數(shù)量為 x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律： (1 )dx xxdt K??記比例系數(shù)為 k， 則 x(t)滿足： (1 )dx xkxdt K??此方程即 Logistic模型，解為： () 1 Kk tKxt Ce ?? ?還有兩個(gè)解 : x=0和 x=K 對 x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)： 2239。( ) (1 )K k tK k tc K k extCe??? ?323( 1 )()( 1 )K k t K k tK k tC K k e C extCe?????? ??容易看出， x’(t)0，即 x(t)單調(diào)增加。 由 x’’(t0)=0，可以得出 =1，此時(shí)， 。 0RKtCe ? 2)( 0 Ktx ?當(dāng) tt0時(shí)， x’’(t)0， x’(t)單調(diào)增加，而當(dāng) tt0時(shí)， x’’(t)0，x’(t)單調(diào)減小。 實(shí)際調(diào)查表明，銷售曲線與 Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。 在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。 所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有 20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。 2 藥物在體內(nèi)的分布 何為房室系統(tǒng)？ 在用微分方程研究實(shí)際問題時(shí)，人們常常采用一種叫 “ 房室系統(tǒng) ” 的觀點(diǎn)來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，（注：考察對象一般并非均勻分布，這里采用了一種簡化方法一集中參數(shù)法）；房室中考察對象的數(shù)