【正文】 43214321 , ?? ???????? 故由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣 ???????????????????? ?3100014002510212411 BAC （ 2） ? 在基（ I）下的坐標(biāo)為????????????????????????????1041970123C 注 該例中 i? 與 i? 都是行向量，它們在基 4321 , eeee 下的坐標(biāo)寫成列向量時(shí)，才能作為過渡矩陣 A或 B 的列。 ???????????????????????341432321,111001111BA 即有 ? ? ? ? ? ? ? ? BeeeAeee 321321321321 , ?? ?????? 于是得 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ?????? ，故由基（ I）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為 ?????????????????????????????????????? ?1010104323414323212/112/12/102/10101 BAC 2設(shè) 4R 的兩組基為 （Ⅰ）? ?? ?? ?? ????????????2,3,0,05,8,0,00,0,1,20,0,2,54321???? （Ⅱ）? ?? ?? ?? ????????????1,1,0,10,2,1,00,0,2,00,0,0,14321???? （ 1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣； （ 2）求向量 221 23 ???? ??? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)。 分析 求過渡矩陣通常采用待定法和中介基法。 分析 求向量在某基下的坐標(biāo)，通常采用待定系數(shù)法，或者利用 坐標(biāo)變換公式。 （ 2）當(dāng) 2?k 時(shí)， 2?ranA ，且矩陣 B的第 1， 2 列線性無關(guān)，故 21,?? 是 ? ?4321 , ????L的一組基，它的維數(shù)為 2。 解 對矩陣 A作初等行變換 BkkkkkkA ??????????????????????????????????????????????2200221074012210220074012210101231 （ 1）當(dāng) 2?k 時(shí)， 2?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ? ? ?TT 1,0,2,7,0,1,2,4 21 ???? ?? 從而它的維數(shù)為 2。 分析 因?yàn)???AN 由齊次線性方程組 0?Ax 的全體解向量構(gòu)成，所以 ??AN 的基就是0?Ax 的基礎(chǔ)解系。 注 利用矩陣的初等變換方法注向量組的最大無關(guān)組時(shí)，對以行向量組按行構(gòu)成的矩陣只能進(jìn)行初等 列變換，對以列向量組按列構(gòu)成的矩陣只能進(jìn)行初等行變換。 （ 1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6,5,1,2,0,2,1,1,14,7,0,3,2,1,3,0,4,2,1,1 54321 ??????? ????? （ 2）???????????????????????????????????????????????035,413,224,1124321 ???? 解 （ 1）對以 521 , ??? ? 為行構(gòu)成的矩陣 A進(jìn)行初等列變換 14102400101030100000121322020213321300001651202111470321304211AA ????????????????????????????????????????????????????????? 則 31 ?? rank AranA ，又 1A 的第 1,2,4行是 1A 的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，故 421 , ???是所級向 量組的一個(gè)最大無關(guān)組。 注 按照逐個(gè)選錄法求向量組的最大無關(guān)組及秩時(shí)，運(yùn)算量較大，因此較少采用。 求向量 組 ? ? ? ? ? ?14,7,0,3,2,1,3,0,4,2,1,1 321 ???? ??? ? ?,0,2,1,14 ?? ? ?6,5,125 ??的最大無關(guān)組及秩。又321 , ??? 線性相關(guān)，所以 32,?? 線性無關(guān)，又 321 , ??? 線性相關(guān)，所以 1? 可由 32,?? 線性表示。 1設(shè)向量組 321 , ??? 線性相關(guān)，向量組 321 , ??? 線性無關(guān)，問： （ 1） 1? 能否由 32,?? 線性表示？說明理由； （ 2） 4? 能否由 321 , ??? 線性表示？說明理由。 解 構(gòu)造矩陣 ? ??????????????tA10331511, 321 ??? 由 ? ?12det ?? tA 可得： 1?t 時(shí) 0det ?A ，向量組 321 , ??? 線性無關(guān)； 1?t 時(shí) 0det ?A ，向量組 321 , ??? 線性相關(guān)。 注 該例證明過程中引用了“矩陣乘積的秩不超過各個(gè)因子的秩”這一結(jié)論。 1證明任何一個(gè)秩為 r 的矩陣都可以表示 r 個(gè)秩為非奇異的矩陣之和。 1設(shè)?????????????????????????133312321131131211232221333231232221131211,aaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA ， ,101010001,10000101021?????????????????????? PP 則有 。 解 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ?????????????????? TnTTTTTTTnTnA 13?? ??????????? ??12/333/2123/12/1133 11 nn A 注 雖然矩陣乘法一般不滿足交換律，但結(jié)合律、分配律等是成立的。 顯見 2?rankB 注 可見，一般情況下用初等變換求秩較為簡便，且只要把矩陣用初等行（或列）變換化為梯矩陣，則階梯矩陣中不為零的行（或列）數(shù)就是原矩陣的秩。 1求下列矩陣的秩 （ 1）???????????????????????????????1098765987654876543765432654321)2(。 1求矩陣 ????????????????????????35000012020000000001000000200000010?????????????nnA的逆矩陣。 1設(shè) ????? , 321 均為 4 維列向量， ? ? ? ????????? , 321321 ?? BA ，且3de t,2de t ?? BA ，則 ? ??? BA 3det 。 （ 3）若把該例條件 ? ? BABA ??? 2 換成 ? ? BABA ??? 2 時(shí)，結(jié)論仍然成立，請讀者試之。 證 由已知 ? ? ? ?? ? BABBAABABBAABABABABA ?????????????? 222 于是 0??BAAB 上式分別左乘 A和右乘 A，得 02 ???? ABAABABABA 02 ???? BAABABAABA 此二式相減得 BAAB? 代入（ *）式即得 0?AB 注 （ 1）因矩陣乘法一般不滿足交換律，故由 ? ? BABABABABABA ????????? 22 222 得證 0?AB 是錯(cuò)誤的。） 解法 1 HEd efA ??????????????????????? 2000000100200020002 由于 E 與 H 可交換，且.,3,2,0 ??? lH l 于是 ? ? ? ? ? ? ? ? mHEHEmEHECHEA mmmmiimmiimmm 110 222222???? ??????? ? ???????????????????????????????? ??mmmmmmmm mm200020202000000200200020002 11 解法 2 因?yàn)?????????? ???22222000202202AAA ?????????? ???3323232000202302AAA ?????????? ???4434342000202402AAA 觀察這些矩陣的規(guī)律，可推測 ????????????mkkmmkA200020202 1 此結(jié)論是否正確，還須用數(shù)學(xué)歸納法證明，為此，假設(shè) km? 時(shí)成立，即 ????????????kkkkkkA200020202 1 當(dāng) 1??km 時(shí)， ? ????????????? ?????????????????????????????112111200020102200020102200020202kkkkkkkkkkkkAAA 故 1??km 時(shí)結(jié)論亦成立，于是上述結(jié)果正確。 （ 2）該題中 B 和 C都不是零矩陣，可它們的乘積為零矩陣，換句話說，僅由 AB=0，一般推不出 A=0 或 B=0，由此導(dǎo)致消去律一般也不成立，即由 AB=AC 不能得到 B=C。 計(jì)算 1?n 階行列式 ? ? ? ?? ? ? ?1111111111???????naaanaaanaaaDnnnnnnn??????????? 分析 該行列式與范德蒙行列式的形式不同，但若把最后一行依次與前面各行交換到第一行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二行，這樣繼續(xù)下去，共經(jīng)過交換 ? ?21?nn 次后可得一范德蒙行列式。 假設(shè) kn? 時(shí)結(jié)論成立，即 ???????? ?? ??ki ikk aaaaD 12111? ，那么，當(dāng) ??kn 時(shí)，將 1?kD 按最后一列拆開，有 ???????????1212111110111011101111111111111111111kkkkaaaaaaaD?????????????????? ???? ?? kkkkkkDaaaaDaaaa1211211111000