【正文】 （ b）合同； （ c）相同； （ d）既相似又合 同。 24．設(shè) )(?A 是一個(gè) nn? 的 ?? 矩陣，那么 （ ） （ a）當(dāng) 0|)(| ??A 時(shí)， )(?A 可逆； （ b）當(dāng) |)(| ?A 是非零常數(shù)時(shí)， )(?A 可逆； （ c）當(dāng) |)(| ?A 是一個(gè)常數(shù)時(shí)， )(?A 可逆； （ d）當(dāng) |)(| ?A 是 ? 的一個(gè)非零多項(xiàng)式時(shí)， )(?A 可逆。 20．設(shè) A 是 n 維線性空間 V 的線性變換， W 是 A 的不變子空間，那么（ ） （ a）存在 WW ?? ?? A, ； （ b） WW ??? ?? A, ； （ c） WW A? ； （ d） .WW A? 21．設(shè) A 是 n 維歐氏空間 V 的對稱變換，那么 （ ） （ a） A 在 V 的任意一組基下的矩陣都是對角矩陣； （ b） A 在 V 的任意一 組基下的矩陣都是對稱矩陣； （ c） ),(),(, ?????? ??? AAV ； （ d） A 的特征值都是實(shí)數(shù)。 18．設(shè)橢球面的方程為 1)1(222222 ???? czbyax ，那么 （ ） （ a）點(diǎn) ),( cba 在橢球面上； （ b）橢球面的中心在點(diǎn) ),( cba ； （ c）橢球面關(guān)于坐標(biāo)平面 yoz 對稱； （ d）橢球面關(guān)于坐標(biāo)平面 xoy 對稱。3,2,1: caag cbaf ??? ??? 那么 （ ） （ a） g 不是 A到 B 的映射； （ b） f 不是 A到 B 的映射； （ c） f 是 A到 B 的映射，但不是滿射； （ d） gf, 都不是 A到 B 的映射 。 13 實(shí)二次型的秩與符號(hào)差之和（ ） a、 等于奇數(shù) b、等于偶數(shù) c、不一定是奇數(shù)還是偶數(shù) 1 ．設(shè) V 是數(shù)域 P 上的 )1( ?nn 維線性空間， A 是線性空間 V 的線性變換， A 在 V 的兩組基下的矩陣分別為 A、 B，那 么 （ ） （ a）矩陣 A 與 B 只有一個(gè)特征值相同； （ b）矩陣 A 與 B 的特征值相同； （ c）矩陣 A 與 B 的特征值不同； （ d）矩陣 A 與 B 相同。 1設(shè) A 是實(shí)二次型 ? ?321 , xxxf 的矩陣，它的特征值為 321321 , ?????? 分別交 321 , ??? 的單位正交特征向量。 每一對稱雙線性函數(shù)在任一基下的度量矩陣都是（ ） a、對稱矩陣 b、對角矩陣 c、單位矩陣 對每一對稱矩陣對線性函數(shù) f，都存在一組基，使在這一基下， f 的度量矩陣是（ ） a、單位矩陣 b、對角矩陣 c、空矩陣 對復(fù)數(shù)域上的對稱雙線性函數(shù) f 都可以找到一組基，使在這組基下 f 的度量矩陣為（ ） a、單位矩陣 b、對角元由 1 和 0 組成的對稱角陣 c、零矩陣 設(shè) ? ? Axxxxxf n 121 , ?? 經(jīng)可 逆線性變換， Cyx? 化成二次型 Byyi ，則矩陣 A， B， C 滿足關(guān)系（ ）。 （ d）對稱變換在 V的任一組基下的矩陣是實(shí)對稱矩陣。 A是 n 維歐氏空間 V 的對稱變換，以下說法正確的是：（ ） （ a） Ｖ 中存在一組基 n??? , 21 ? ， A在基 n??? , 21 ? 下的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣。 設(shè) S 是線性空間 V 的線性變換， W1， W2 都是 A子空間，并且 21 WWV ?? ，以下說法正確的是（ ）。 （ c） g 是單射。 測 試 題 —— 線性代數(shù)與解析幾何（二） 一 選擇題 f 是 X 到 Y的映射， g 是 Y到 Z 的映射，如果 gf 是單射以下說法正確的是：（ ） （ a） f 和 g 都是單射。 證： 任取 V???, ，則由 T 的定義，有 ? ? rrT ?????????? , 11 ?????? ? ? ? ? ? rrr ?????????? , 111 ????? ? ? ? ? ?rrrr ???????????? , 1111 ?????? ?? ? ? ? ??? TT ?? 即 T 保持加法運(yùn)算，同理可證 T 保持?jǐn)?shù)乘運(yùn)算，故 T 為線性變換。 如果 21 ?? ?? ，均有 ? ? ? ?21 ?? TT ? ，或當(dāng) ? ? ? ?21 ?? TT ? 時(shí)必有 21 ??? ，則稱 T 為單射，注意 ? ?WVLT ,? 為單射 ? ? ? ? TTk et ??? 0 將 V 中線性無關(guān)向量組映成 W 中線生無關(guān)向量組。0?? AxxT 在（ C）中，設(shè)常數(shù) 0?k 則 ? ? ? ? 。 （ A） ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 333 ,1,: xFxfxfxfTxFxFT ????? （ B） ? ? nnn RxAxxTRRT ???? ,: ，其中????????????011121251A （ C） ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?323 ,: xRxfdx xdfxfTxRxRT ???? （ D） ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1,1,1,1: 11 ?????? ?? CxfdxxfxfTRCT 解 應(yīng)選（ A ）， 因 為 ? ? ? ?32210 xFxaxaaxf ????? ，由 T 的 定 義 ， 有? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2210 111 ??????? xaxaaxfxfT ，故若 ? ?? ? 0xfT ，則有 0210 ??? aaa即 ? ? 0?xf 故 ? ? ??,0?Tket 因此 T 為單射。 要證明映 射 WVT ?: 為線性變換，只須驗(yàn)證 T 保持加法及數(shù)量乘法運(yùn)算，即 FkV ??? ,?? ，恒有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? kTkTTTT ???? ,，而要證 T 不是線性變換，只須舉一例子說明 T 不保持加法或數(shù)量乘法。 （ A） ? ? ? ? ? ? 323 ,32,2,: RzyxzyyxzyxTRRT ?????? （ B） ? ? ? ? ? ? 232 ,1,1,1,: RyxyxyxTRRT ?????? （ C） ? ? nnnnnn RXXAXTRRT ??? ???? ,: 而 A為取定的 n 階實(shí)方陣。 解 f 的矩陣為 ?????????????5212111ttA f 正定，當(dāng)且當(dāng) A的各階順序主子式都大于零，故由 011 ??? ， ,1,0111 22 ??????? ttt t ? ? 054,04552121113 ????????????? tttttA 得當(dāng)且僅當(dāng) ft 時(shí)054 ??? 正定。,2,10 nia ii ??? （ 2） 0?A 一般地，對于具體給定的二次型 ? ? Axxxf T? ,用實(shí)對稱矩陣 A的各階順序主子式是否都大于零來判定 f (或 A)是否正定是比較方便的 ,而在有關(guān)正定性的理論性問題討論中 ,正定的定義及其它充要條件 (見本題后面的注 )則運(yùn)用較多。 （ 1） f 的正慣性指數(shù)為 m （ 2） A的所有特征值都大于零； （ 3） A合同于單位矩陣，即存在可逆矩陣 C，使得 IACCT ? ，或存在可逆矩陣 M，使得MMA T? ； （ 4） A的各階順序主子式都大于零。 (A) 8?a （ B） 4?a (C) 4??a (D) 44 ??? a 解 應(yīng)選（ D）。 正確寫出二次型 f (實(shí)對稱 )矩陣，是正確處理二次型有關(guān)問題的首要條件。 ?? iVii? ）有 ? ?21 ??? ?? ，由此可知? ?21 VV ??? 當(dāng)且僅當(dāng) i??? （對 1V 中任意向量 i? ）或 ? ?2,1?? iVi? / 例 25 4元次型 ? ?43324131214124321 , xxxxxxxxxxxxxxxfi i ?????? ??的秩為（ ）。21121 VVVV ??? ?? （ 2） ? ? 21121 VVVV ??? ?? 證（ 1）任取 ? ???? 21 VV? ，則 ? ?21 VV ??? ，因 21 VVVi ?? ，故 ? ?2,1?? iVi? ，即? ?2,1?? ? iVi? ，所 以 ?? ?? 21 VV? ，即有 ? ? ??? ??? 2121 VVVV ；反 之，任取?? ?? 21 VV? ，則 ??iV? ，故 ? ?,2,1?? iVi? 于是對 ? ?2,1,21 ???? iV ii???? 因i??? ，有 ??? ，故 ? ???? 21 VV? ，所以 ? ???? ??? 2121 VVVV ，綜上可知，有? ? .2121 ??? ??? VVVV （ 2）令 ? ?2,1?? ? iVii? ，注意到 ? ? ?? ??? ，則由（ 1）有 ? ???? ??? 2121 ???? ，即 ? ???? ??? 2121 VVVV 。 例 23 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V中一非零向量，證明： 0, ??? ????? V 是 V的一個(gè)子空間，且 ? ? .1dim ?? n? 證人 顯然 ? 非 空 （ 因?yàn)???0 ）， 任 取 ? 中向量 21,?? 及 任意 實(shí) 數(shù) k , 則? ?2,10, ?? ii ?? ， 于是有 0, 2121 ???? ??????? 0, 11 ?? ??? kk 故 ????? ??? 121 , k ，因此 是 V的一個(gè)子空間，令 ? ??spanU ? ，則 U 是 V的 1 維子空間，且顯然有 ??U? ，由射影定理知 ????? ? UUUV ，因而有 )di m ()di m ()di m ( ??? UV 所以 ? ? ? ? 1d imd im)d im ( ???? nUV? 注意：因?yàn)? ,??? ??V 于是由直和的充要條件就有 ? ???? ?? d im)d im ()d im ( V 。 321 , ??? 的最大無關(guān)組可作為 ? 的基，顯然 21,?? 線性無關(guān)，而213 2 ??? ?? ，故 21,?? 是 321 , ??? 的一個(gè)最大無關(guān)組，因此， 21,?? 是 ? 的一個(gè)基本。 例 22 設(shè) ? ?321 , ???? sp a n? 是 4R 的一個(gè)子空間，其中 ? ? ? ? ? ? TTT 4,3,1,3,0,1,1,1,2,1,0,1 321 ??????? ??? 求 ? 的正交補(bǔ)空間 ?? 。 證 由題設(shè)條件有 ,0, 21 ?? ???? 利用內(nèi)積的線性性質(zhì)，得 0,21 ?? ??? ，上式對任意 V?? 均成立，特別取 21 ??? ?? 則有 0, 212121 ????? ?????? ，故 ,021 ???? 即 21 ??? 。 如果對實(shí) 向量空間 V 中任意兩向量 yx與 規(guī)定了一個(gè)實(shí)數(shù) yx, 與之對應(yīng)，而且滿足（ 1）對稱性： xyyx , ? ，（ 2）線性性質(zhì)： zyzxzyxyxkykx , ???? （ 3）非負(fù)性： 00, ??? xxx ，則稱這個(gè)二元函數(shù) yx, 為 V 的一個(gè)內(nèi)積，稱以上三個(gè)條件為內(nèi)積公理， V按此內(nèi)積便構(gòu)成一個(gè)歐氏空間。 設(shè) ? ? nTn RaaaAx ?? , 21 ? ? ? ., 21 nTn RbbbAy ?? ? 則由（ ）式，有 （ 1） ? ? ? ? ? ? ? ? yxAyAxbaabAxAyxy Tini iini iT ,11 ????? ?? ?? （ 2）對任意實(shí)數(shù) k ，及 ? ? nTn Rzzzz ?? , 21 ? ，有 ? ? ? ? ? ? ? ? , yxkAyAxkAyA k xykx TT ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?AzAyAxAzAyAxAzyxAzyx TTTT ??????? , ? ? ? ? ? ? ? ? zyzxAzAyAzAx TT , ???? （ 3） ? ? ? ? 0,12 ??? ??ni iT aAxAxxx 而且 ? ? 00,2,100, ???????? xAxniaxx i ?（注意 A可逆，因而當(dāng) Ax=0 時(shí)就有x=0）。 例 20 設(shè) A是 n 階可逆方陣，對于 ? ? ? ? nTnnTn RyyyyRxxxx ???? , 2121 ?? ，證明：由 ? ? ? ?AyAxyx