【正文】 ( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn ??????????? ?， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1( ???? ?，其中 ? 介于 0x 與 x 之間，稱(chēng)此種形式的余項(xiàng)為拉格郎日型余項(xiàng)，若 ])[()( 0 nn xxoxR ?? ，稱(chēng)此種形式的余項(xiàng)為皮亞諾型余項(xiàng)。 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ， )(xf 在 ],[ ba 上二階可導(dǎo)， Mxf ??? |)(| ，且 )(xf 的最小點(diǎn)在 ),( ba 內(nèi)，證明： )(|)(||)(| abMbfaf ????? 。 【例題 2】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，在 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)1( ?f ，證明：存在 )1,0(?? ，使得 0)(2)( ??? ??? ff 。 定理 3（ Cauchy中值定理）設(shè) )(),( xgxf 滿(mǎn)足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf ? ；（ 2） )(),( xgxf在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)；（ 3） ),(,0)( baxxg ??? ，則存在 ),( ba?? ，使得 )( )()()( )()( ??gfagbg afbf ?????。 （ 2） ? 對(duì)端點(diǎn) ba, 有依賴(lài)性。 定理 2（ Lagrange 中值定理）設(shè) )(xf 滿(mǎn)足：（ 1） ],[)( baCxf ? ；（ 2） )(xf 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，則存在 ),( ba?? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 。 【結(jié)論 2】設(shè)可導(dǎo)函數(shù) )(xf 在 ax? 處取極值，則 0)( ??af 。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點(diǎn)。 （ 2）設(shè) 0)( ??af ，即 0)()(lim ???? ax afxfax，由極限的保號(hào)性，存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 0)()( ??? ax afxf 。 當(dāng) ),( aax ??? 時(shí)， )()( afxf ? ；當(dāng) ),( ??? aax 時(shí)， )()( afxf ? 。若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱(chēng) 0xx? 為 )(xf 的極大點(diǎn)；若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱(chēng) 0xx? 為 )(xf 的極小點(diǎn)，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)。 【例題 2】設(shè) 231)(2 ??? xxxf，求 )()( xf n 。 【例題 2】設(shè)??? ?? ??? 0, 0),1ln()( xbax xxxf，且 )0(f? 存在，求 ba, 。 （三）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】 設(shè) xxye yx 23 ??? ，求 dxdy 。 三、求導(dǎo)基本類(lèi)型 （一）顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】設(shè) )s e c2ln ( ta n 21s in 2 xxey x ??? ，求 y? ； 【例題 2】設(shè) xxy sin? ，求 y? ； （二）參數(shù)方程確 定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) )(xfy? 由??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導(dǎo)，求 dxdy 及22dxyd 。 【注解】 （ 1）原函數(shù)與其反函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 16 設(shè) )(xfy? 為二階可導(dǎo)函數(shù)，且 0)( ?? xf ， )(yx ?? 為 )(xfy? 的反函數(shù)，則 )(11)(xfdxdyydydx ????? ? ，即原函數(shù)與其反函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系， )()(//])(1[])(1[)]([)( 322 xf xfdxdydxxfddyxfddyydydyxd?????????????? ?? 。 2)( v vuvuvu ?????； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 vuvuuv ?????)( 。 （ 1）211)(arc s in xx ??? ； （ 2）211)( a r c c os xx ???? ； （ 3）21 1)(arc tan xx ???； （ 4）21 1)c o t( xxarc ????。 axxa ln1)(log ??，特別地 xx 1)(ln ?? 。 1)( ??? aa axx ，特別地????????????xxxx21)(1)1(2 。 （ 3）若函數(shù) )(xf 處處可導(dǎo)，則其微分為 dxxfxdf )()( ?? 。 【注解】 15 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與函數(shù)在一點(diǎn)可微等價(jià)。 （ 4） 取絕對(duì)值可保持連續(xù)性，不一定保持可導(dǎo)性。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 【注解】 （ 1） 0??x 同時(shí)包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 14 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 【方法指導(dǎo)】 設(shè) ],[)( baCxf ? ，若結(jié)論中存在 )(?f ，基本確定使用零點(diǎn)定理或介值定理，一般開(kāi)區(qū)間用零點(diǎn)定理，閉區(qū)間用介值定理。 定理 4 （ 1） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[ Mm?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。 定理 2 （有界性定理） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 記憶： })11{( nn? 單調(diào)增加收斂于 e 。 記憶：（ 1） 0?x 時(shí)， xxx tansin ?? ，尤其 xx?sin （ 0?x ）； （ 2） 0?x 時(shí)， xx ?? )1ln( 。 （ 2）函數(shù)型：設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 定理 2（夾逼定理） 13 （ 1）數(shù)列型：設(shè) nnn cba ?? ，且 Acannnn ?? ???? limlim，則 Abnn ???lim。 情形一：設(shè) }{na 單 調(diào)增加，且存在 M ，使得 Man? ，則nn a??lim存在。 （ 2）設(shè) )0(0)( ??xf 且 Axf ?)(lim ，則 )0(0??A 。 二、極限有關(guān)性質(zhì) （一）極限一般性質(zhì) 定理 1（唯一性定理） 極限具有唯 一性。 【例題 9】求函數(shù)xxxeexf????111)( 的間斷點(diǎn)及類(lèi)型。 （ 2）設(shè) )( xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 至少一個(gè)不存在，稱(chēng) ax? 為 )(xf 的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 間斷點(diǎn)及分類(lèi) （ 1）設(shè) )(xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 都存在，稱(chēng) ax? 為 )(xf 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。 （ 2）函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有定 義， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且 )()0(),()0( bfbfafaf ???? ，稱(chēng) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)。 連續(xù) （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ax? 的鄰域內(nèi)有定義，若 )()(lim afxfax ??，稱(chēng) )(xf 在 ax? 處連續(xù)。 【例題 6】計(jì)算極限3tan0lim xee xxx??。 【例題 4】計(jì)算極限30 sintanlim x xxx ??。 （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小 1） )1l n (~1~a r c t a n~a r c s i n~t a n~s i n~ xexxxxx x ??； 2） 221~cos1 xx? ； 3） axx a ~1)1( ?? 。 3） Axf ?)(lim 的充分必要條件是 ??? Axf )( ，其中 0?? 。 【注解】 （ 1）無(wú)窮小一般性質(zhì) 1）有限個(gè)無(wú)窮小之和、差、積為無(wú)窮小。 無(wú)窮小 （ 1）無(wú)窮小的定義 — 以零為極限的函數(shù)稱(chēng)為無(wú)窮小。 （ 2）形如 )0( ?? aa bxk 當(dāng) ax? 時(shí)的極限一定分左右極限。 （ 4）左右極限 — 若 Axfax ??? )(lim，稱(chēng) A 為 )(xf 在 ax? 處的左極限，記為 Aaf ?? )0( ；若 Bxfax ??? )(lim，稱(chēng) B 為 )(xf 的右 極限，記為 Baf ?? )0( ，注意 )(lim xfax?存在的充分必要條件是 )0( ?af 與 )0( ?af 都存在且相等。 （ 2）函數(shù) )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限（ ??? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱(chēng) A 為 )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限，記為 Axfax ?? )(lim。 （ 4）有界性 — 若存在 0?M ，對(duì)任意的 Dx? ，有 Mxf ?|)(| ，稱(chēng) )(xf 在 D 上有界。 【例題 2】討論函數(shù) ][)( xxxf ?? 的周期性。 【例題 1】 判斷函數(shù) )1ln ()( 2xxxf ??? 的奇偶性，并求其反函數(shù)。 【例題 3】計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx。 【例題 1】計(jì)算 ?? ?2241sin?? dxexx。 3）?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c os2c os 200?? 。 （ 3）特殊區(qū)間上三角函數(shù)定積分性質(zhì) 1）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? 2020 )( c os)( s in?? dxxfdxxf ，特別地， nnn Idxxdxx ?? ?? 2020 c oss in?? ，且 1,2,1 102 ???? ? IIInnI nn ?。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()(，其中 a 為任意常數(shù)。 2）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 （ 7）（積分中值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則存在 ],[ ba?? ，使得 ))(()( abfdxxfba ??? ?。 推論 2 )(|)(|)( badxxfdxxf baba ?? ??。 （ 5）設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf。 （ 3） ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(。 8 五、定積分性質(zhì) 基本性質(zhì) （ 1） ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([。 四、積分法 換元積分法 — 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 )(tx ?? ，其中 )(t? 可導(dǎo)，且 0)( ??t? ，其中ba ?? )(,)( ???? ，則 ?? ?? ?? ?? dtttfdxxfba )()]([)( 。 【例題 2】設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 ? ?? x dttxtfxF0 22 )()(，求 )(xF? 。 （ 3） )()]([)()]([)(1122)( )(21 xxfxxfdttfdxd xx ?????? ?????。 【注解】 （ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 （ 3）若一個(gè)函數(shù)可積，則 ????? ???? ninba abniafn abdxxf1 )]([lim)(。 【注解】 （ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無(wú)關(guān) 。 【例題 4】設(shè) A 為 n 階矩陣，且 OEAA ??? 232 ，證明： nAErAEr ???? )2()( 。 【例題 2】設(shè) A 為 n 階可逆陣，證明 A 的逆陣是唯一的。 （ 5）設(shè) A 為 nm? 矩陣， P 為 m 階可逆陣， Q 為 n 階可逆陣，則有 )()()()( PAQrAQrPArAr ??? 。 （ 3） )}(),(m in{)( BrArABr ? ，等價(jià)于??? ?? )()( )()( BrABr ArABr。 矩陣秩的性質(zhì) （ 1） )()()