【正文】 uvudv。 三、定積分基本理論 定理 1 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 ??? xa dttfx )()(，則 )(x? 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，即)()( xfx ??? 。 【矩陣秩例題】 【例題 1】設(shè) ??, 皆為三維列向量， TTA ???? ?? ，證明： 2)( ?Ar 。 （ 2） 1)( ?Ar 的充分必要條件是 OA? 。 第四步 三個(gè)問題 【問題 1】設(shè) A 為 n 階可逆矩 陣， A 能夠經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣？ 【問題 2】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為 ???????? OO OEr？ 【問題 3】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過(guò) 有限次初等變換化為 ???????? OO OEr？ 第五步 初等變換法求逆陣及兩個(gè)相關(guān)的定理 定理（初等變換法求逆陣）設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，則 A 可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為初等矩陣。 求矩陣逆陣的方法 方法一：伴隨矩陣法（略） 方法二：初等變換法 第一步 方程組的三種同解變形 （ 1）對(duì)調(diào)兩個(gè)方程的位置方程組的解不變； （ 2）某個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù)方程組的解不變； （ 3）某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一 個(gè)方程方程組的解不變。 【例題 2】討論方程組??? ????? 2 132321 xx xxx 解的情況，并分析原因。 （ 2）矩陣乘法沒有交換律。 推薦快速學(xué)習(xí)一下思維導(dǎo)圖法與快速閱讀法，對(duì)理解與記憶的幫助十分之大，里面有針對(duì)考研版本，對(duì)于時(shí)間不夠用，效率低的同學(xué)特別適用，本人切身體驗(yàn)，沒用不會(huì)推薦希望對(duì)大家也有幫助！建議練上 30小時(shí)足矣。 （ 3）單位矩陣 — 主對(duì)角線上元素皆為 1其余元素皆為零的矩陣稱為單位矩陣。 （ 4）對(duì)稱矩陣 — 元素關(guān)于主對(duì)角線成軸對(duì)稱的矩陣稱為對(duì)稱矩陣。已經(jīng)給大家找好了下載的地址，先按住鍵盤最左下角的“ Ctrl”按鍵， 請(qǐng)直接點(diǎn)擊這里下載 。 （ 3）含方陣 BA, 的矩陣多項(xiàng)式 可象普通多項(xiàng)式一樣因式分解的充分必要條件是BAAB? 。 【例題 3】討論方程組??? ???? 422 12121 xx xx 解的情況，并分析原因。 第二步 矩陣的三種初等行變換 （ 1）對(duì)調(diào)矩陣的兩行； （ 2）矩陣的某行同乘以一個(gè)非零常數(shù)； （ 3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行。 （二）矩陣的秩（記住：在方程組中矩陣的秩本質(zhì)上就是約束條件） 定義 — 設(shè) A 為 nm? 矩陣，若 A 存在一個(gè) r 階非零子式，但所有的 1?r 階子式（如果有）都是零，則 r 稱為 A 的秩，記為 rAr ?)( 。 6 （ 3） 2)( ?Ar 的充分必要條件是 A 至少有兩行不成比例。 【例題 2】設(shè) A 為 n 階可逆陣，證明 A 的逆陣是唯一的。 【注解】 （ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 8 五、定積分性質(zhì) 基本性質(zhì) （ 1） ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([。 （ 7）（積分中值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則存在 ],[ ba?? ，使得 ))(()( abfdxxfba ??? ?。 3）?????? ??為奇數(shù)為偶數(shù)nndxxdxx nn,0,c os2c os 200?? 。 【例題 2】討論函數(shù) ][)( xxxf ?? 的周期性。 （ 2）形如 )0( ?? aa bxk 當(dāng) ax? 時(shí)的極限一定分左右極限。 （ 3）當(dāng) 0?x 時(shí)常用的等價(jià)無(wú)窮小 1） )1l n (~1~a r c t a n~a r c s i n~t a n~s i n~ xexxxxx x ??； 2） 221~cos1 xx? ； 3） axx a ~1)1( ?? 。 （ 2）函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)的定義 — 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上有定 義， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，且 )()0(),()0( bfbfafaf ???? ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)。 二、極限有關(guān)性質(zhì) （一）極限一般性質(zhì) 定理 1（唯一性定理） 極限具有唯 一性。 （ 2）函數(shù)型：設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 定理 4 （ 1） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，對(duì)任意的 ],[ Mm?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數(shù)都可以取到。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 1)( ??? aa axx ，特別地????????????xxxx21)(1)1(2 。 2)( v vuvuvu ?????； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 【例題 2】設(shè)??? ?? ??? 0, 0),1ln()( xbax xxxf，且 )0(f? 存在，求 ba, 。 （ 2）設(shè) 0)( ??af ，即 0)()(lim ???? ax afxfax，由極限的保號(hào)性，存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 0)()( ??? ax afxf 。 （ 2） ? 對(duì)端點(diǎn) ba, 有依賴性。 定理 4（泰勒中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf 在 0xx? 的鄰域內(nèi)有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù)，則有 )()(! )()(!2 )()()()( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn ??????????? ?， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1( ???? ?，其中 ? 介于 0x 與 x 之間，稱此種形式的余項(xiàng)為拉格郎日型余項(xiàng)，若 ])[()( 0 nn xxoxR ?? ，稱此種形式的余項(xiàng)為皮亞諾型余項(xiàng)。 題型三：泰勒公式在極限中的應(yīng)用 【例題】求極限30 sinlim x xxx ??。 范得蒙行 列式 — 形如 112112121111),(????nnnnnnaaaaaaaaaV???????? 稱為 n 階范得蒙行列式，且 ?????????nijjinnnnnn aaaaaaaaaaaV?????????1112112121 )(111),( 。 行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），行列式不變，即 22 nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa????????????????????????????????212122111121121212111211????，其中 k 為任意常數(shù)。 計(jì)算nnaaaaD?????1111111111111111321?????????，其中 )1(0 niai ??? 。 伴隨矩陣 — 設(shè) nnijaA ?? )( 為 n 矩陣，將矩陣 A 中的第 i 行和 j 列去掉，余下的元素按照原來(lái)的元素排列次序構(gòu)成的 1?n 階行列式，稱為元素 ija 的余子式，記為 ijM ，同時(shí)稱 ijjiij MA ??? )1( 為元素 ija 的代數(shù)余子式，這樣矩陣中的每一個(gè)元素都有自己的代數(shù)余子式，記????????????????nnnnnnAAAAAAAAAA???????212221212111，稱為矩陣 A 的伴隨矩陣。 若 BAAB? ，則 )2)((23 22 BABABABA ????? ，再如 )2)(3(62 EAEAEAA ????? 。 （五）逆陣的求法 （ 1）方法一：伴隨矩陣法 ??? AAA ||11。 性質(zhì)： 1） ccEi ?|)(| ； 2） )1()(1 cEcEii ??； 3） AcEi )( 即為矩陣 A 的第 i 行非零常數(shù) c ， )(cAEi 即為矩陣 A 的第 i 列非零常數(shù) c ，即 AcEi )( 為對(duì) A 進(jìn)行第二種初等行變換， )(cAEi 為對(duì) A 進(jìn)行第二種初等列變換。 （ 4） TT AA )()( 11 ?? ? 。 2）若 OA? ，則 1)( ?Ar 。 2） |||| AAT ? 。 設(shè) A 是 nm? 矩陣，且 OAAT ? ，證明： OA? 。 （ 5）當(dāng) 0),( ??? ，即 01 ???ni iiba時(shí)，稱向量 ? 與 ? 正交，記為 ??? ，注意零向量與任何向量正交。 向量的線性表示 對(duì)非齊線性方程組 bxxx nn ???? ??? ?2211 ， （ 1）存在一組常數(shù) nkkk , 21 ? ，使得 bkkk nn ???? ??? ?2211 成立，即非齊線性方程組有解，稱 ? 可由 n??? , 21 ? 線性表示； （ 2）若 bxxx nn ???? ??? ?2211 不能成立，即非齊線性方程組無(wú)解，稱 ? 不可由n??? , 21 ? 線性表示。 ??, 是 3維列向量， TTA ???? ?? ，證明： 2)( ?Ar 。 4） 1|||| ?? ? nAA 。 （ 4） ??1)(Ar 存在非零向量 ??, ，使得 TA ??? 。 （二）矩陣秩的定義 設(shè) A 是 nm? 矩陣， A 中任取 r 行和 r 列且元素按原有次序所成的 r 階行列 式，稱為 A的 r 階子式，若 A 中至少有一個(gè) r 階子式不等于零，而所有 1?r 階子式（如果有）皆為零，稱 r 為矩陣 A 的秩，記為 rAr ?)( 。 性質(zhì)： 1） AkEij )( 即 A 第 j 行的 k 倍 加到第 i 行， )(kAEij 即 A 第 i 列的 k 倍加到第 j 列； 2） 1|)(| ?kEij ； 3） )()(1 kEkE ijij ??? 。 （六）初等 變換法求逆陣的思想體系 第一步，方程組的三種同解變形 （ 1）對(duì)調(diào)兩個(gè)方程； （ 2）某個(gè)方程兩邊同乘以非零常數(shù)； （ 3）某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程， 以上三種變形稱為方程組的三種同解變形。 記 , 2121212222111211?????????????????????????????????????????????mnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA ?????????則方程組（ I ）、（ II ）可改 寫為 形式二：方程組的矩陣形式 0?AX ， （ I ） bAX? ， （ II ） 令???????????????????????????????????????????????????????mnmnnnmm bbbxxXaaaaaa??????11121221111 , ???，則有 形式三：方程組的向量形式 Oxxx nn ???? ??? ?2211 （ I ） Oxxx nn ???? ??? ?2211 （ II ） 二、矩陣的逆陣 （一）逆陣問題的產(chǎn)生 26 對(duì)一元一次方程 )0( ?? abax ，其解有如下幾種情況： （ 1）當(dāng) 0?a 時(shí)， bax? 兩邊乘以 a1 得 abx? 。 （ 2）矩陣乘法 1）數(shù)與矩陣的乘法 — 設(shè)??????????