【正文】 ()( TTT AArAArArAr ??? 。 6 （ 3） 2)( ?Ar 的充分必要條件是 A 至少有兩行不成比例。 【注解】 （ 1） 0)( ?Ar 的充分必要條件是 OA? 。矩陣可逆、滿秩及非奇異等價。設(shè) A 為 nm? 矩陣，則 },m in{)( nmAr ? 。 （二）矩陣的秩（記?。涸诜匠探M中矩陣的秩本質(zhì)上就是約束條件） 定義 — 設(shè) A 為 nm? 矩陣，若 A 存在一個 r 階非零子式，但所有的 1?r 階子式（如果有）都是零，則 r 稱為 A 的秩，記為 rAr ?)( 。 性質(zhì)： 1） 01|)(| ??kEij ； 2） )()(1 kEkE ijij ??? ； 3） )(kAEij 為將 A 的 j 行 的 k 倍加到 i 行所得到的矩陣， AkEij )( 為將 A 的 i 列的 k 倍加到 j 列所得到的矩陣。 性質(zhì)： 1） 0|)(| ?? ccEi ； 2） )1()(1 cEcEii ??； 3） AcEi )( 為將 A 的 i 行乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣， )(cAEi 為將 A 的 i 列乘以非零 5 常數(shù) c 所得到的矩陣。 性質(zhì)： 1） 01|| ???ijE ； 2） ijij EE ??1 或者 EEij ?2 ； 3） AEij 為將 A 的 i 行與 j 行對調(diào)所得的矩陣， ijAE 為將 A 的 i 列與 j 列對調(diào)所得的矩陣。 第二步 矩陣的三種初等行變換 （ 1）對調(diào)矩陣的兩行； （ 2）矩陣的某行同乘以一個非零常數(shù)； （ 3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行。 兩個問題 【問題 1】 給定一個 n 階矩陣 A ，是否存在可逆矩陣（事實(shí)上不存在可逆矩陣的矩陣大量存在）？ 【問題 2】 若 n 階矩陣 A 可 逆（即逆矩陣存在），如何求其逆矩陣？ 矩陣可逆充分必要條件 定理設(shè) A 為 n 階矩陣，則 A 可逆的充分必要條件是 0|| ?A 。 （ 2）第二、三兩種情形產(chǎn)生矩陣的另一個核心問題 — 矩陣的秩。 線性方程組的類似問題：討論方程組 bAX? 的解 情形一： A 是 n 階方陣，且存在 B ，使得 EBA? 由 bAX? 兩邊左乘 B 得 BbBAX? ，于是 BbX? ； 情形二： A 雖然是 n 階矩陣，但不存在 B ，使得 EBA? 方程組 bAX? 是否有解及解的情況； 情形三： A 是 nm? 矩陣，且 nm? 方程組 bAX? 是否有解及解的情況。 【例題 3】討論方程組??? ???? 422 12121 xx xx 解的情況，并分析原因。 對方程組（ 2）： 【例題 1】討論方程組??? ????? 132121 xx xx 解的情況，并分析原因。 3 令 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????nxxxX ?21，???????????????mbbbb ?21，則（ 1）、（ 2）可分別表示為矩陣形式： OAX? （ 1） 及 bAX? （ 2） 對方程組（ 1）： 【例題 1】討論方程組??? ???? 02 02121 xx xx 解的情況，并分析原因。 二、方程組的矩陣形式及解的概況 方程組的基本形式為 ???????????????????000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???? （ 1） 稱（ 1）為齊次線性方程組。 （ 3）含方陣 BA, 的矩陣多項式 可象普通多項式一樣因式分解的充分必要條件是BAAB? 。,2,1 ?? ?? ） 【注解】 （ 1） OAB? 不一定有 OA? 或 OB? 。 （ 2）數(shù)與矩陣之積： 2 ???????????????mnmmnnkakakakakakakakakakA???????212222111211。 鯉魚資料下載網(wǎng)，各種資料都有下載。已經(jīng)給大家找好了下載的地址，先按住鍵盤最左下角的“ Ctrl”按鍵， 請直接點(diǎn)擊這里下載 。請大家多關(guān)注，我常常會推薦一些很好用的東西給大家。大家有選擇性的看，都是個人覺得非常好的。若兩個矩陣同型且對應(yīng)元素相同，稱兩個矩陣相等。 （ 4）對稱矩陣 — 元素關(guān)于主對角線成軸對稱的矩陣稱為對稱矩陣。 （ 2）方陣 — 行數(shù)和列數(shù)都相等的矩陣稱為方陣。 1 考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班輔導(dǎo)講義 線性代數(shù)部分 — 矩陣?yán)碚? 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。 特殊矩陣有 （ 1）零矩陣 — 所有元素皆為零的矩陣稱為零矩陣。 （ 3）單位矩陣 — 主對角線上元素皆為 1其余元素皆為零的矩陣稱為單位矩陣。 同型矩陣 — 行數(shù)和列數(shù)相同 的矩陣稱為同型矩陣。 我想，每一次都推薦一下對大家都非常有用的信息，只推薦三個有用的，其他的我覺得都沒什么意思，每一次推薦都不容易，希望大家珍惜。一切都做了，離成功就近了，好運(yùn)與機(jī)遇就會降臨。 推薦快速學(xué)習(xí)一下思維導(dǎo)圖法與快速閱讀法，對理解與記憶的幫助十分之大，里面有針對考研版本，對于時間不夠用，效率低的同學(xué)特別適用，本人切身體驗(yàn)，沒用不會推薦希望對大家也有幫助！建議練上 30小時足矣。） 大家網(wǎng)考試論壇，是國內(nèi)最知名的考研和考公務(wù)員論壇。 矩陣運(yùn)算 （ 1）矩陣加、減法： ??????????????????????????????mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA???????221122222221211112121111。 （ 3）矩陣與矩陣之積： 設(shè)??????????????????????????????nsnnssmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ????????????????msmmsscccccccccCAB???????212222111211， 其中 njinjiij babac ??? ?11 （ njmi ,2,1。 （ 2）矩陣乘法沒有交換律。 （ 4）設(shè) 011)( axaxaxf nn ???? ?，則定義 EaAaAaAf nn 01)( ???? ?，且關(guān)于矩陣 A 的矩陣多項式可因式分解。 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ 2） 稱（ 2）為非齊線性方程組。 【例題 2】討論方程組??? ????? 0 0231321 xx xxx 解的情況，并分析原因。 【例題 2】討論方程組??? ????? 2 132321 xx xxx 解的情況，并分析原因。 三、矩陣問題的產(chǎn)生 初一數(shù)學(xué)問題：解一元一次 方程 bax? 情形一：當(dāng) 0?a 時， bax? 兩邊同時乘以 a1 得 baaxa ??? 11 ，于是 abx? ； 情形二：當(dāng) 0,0 ?? ba 時，方程 bax? 無解； 情形三：當(dāng) 0,0 ?? ba 時，方程 bax? 有無數(shù)個解。 4 【注解】 （ 1）第一種解的情況產(chǎn)生矩陣的第一個核心問題 — 矩陣的逆陣。 四、矩陣兩大核心為題 （一）逆陣 定義 — 設(shè) A 為 n 階矩陣，若存在 n 階矩陣 B ，使得 EBA? ，則稱 A 為可逆矩陣，B 稱為 A 的逆矩陣，記為 1??AB 。 求矩陣逆陣的方法 方法一：伴隨矩陣法（略） 方法二：初等變換法 第一步 方程組的三種同解變形 （ 1）對調(diào)兩個方程的位置方程組的解不變； （ 2）某個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù)方程組的解不變； （ 3）某個方程的倍數(shù)加到另一 個方程方程組的解不變。 第三步 三種初等矩陣 （ 1） ijE — 單位矩陣的 i 行與 j 行對調(diào)或者 i 列與 j 列對調(diào)所得的矩陣。 （ 2） )0)(( ?ccEi — 單位矩陣的 i 行乘以 c 或單位矩陣的 i 列乘以 c 。 （ 3） )(kEij — 單位矩陣的 j 行的 k 倍加到 i 行或者單位矩陣的 i 列的 k 倍加到 j 列所得到的矩陣。 第四步 三個問題 【問題 1】設(shè) A 為 n 階可逆矩 陣， A 能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣？ 【問題 2】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為 ???????? OO OEr？ 【問題 3】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過 有限次初等變換化為 ???????? OO OEr？ 第五步 初等變換法求逆陣及兩個相關(guān)的定理 定理（初等變換法求逆陣）設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，則 A 可以經(jīng)過有限次初等行變換化為初等矩陣。 【注解】 （ 1）任何矩陣的秩都既不超過其行數(shù)也不超過其列數(shù)。 （ 2）設(shè) A 為 n 階矩陣，若 0|| ?A ，則 nAr ?)( ，稱 A 為滿秩矩陣。 矩陣秩的求法 將矩陣進(jìn)行初等行變換階梯化所得的非零行數(shù)即為矩陣的秩。 （ 2） 1)( ?Ar 的充分必要條件是 OA? 。 （ 4）設(shè)???????????????naaa?21? ，則??? ??? OOr ??? ,1 ,0)(。 （ 2）設(shè) BA, 為同型矩陣，則 )()()( BrArBAr ??? 。 （ 4）設(shè) A 為 nm? 矩陣， B 為 sn? 矩陣，且 OAB? ，則 nBrAr ?? )()( 。 【矩陣秩例題】 【例題 1】設(shè) ??, 皆為三維列向量， TTA ???? ?? ，證明： 2)( ?Ar 。 【例題 3】設(shè) A 為 nm? 矩陣， B 為 mn? 矩陣，其中 mn? ，且 EAB? ，證明： mBr ?)( 。 高等數(shù)學(xué)部分 定積分理論 一、定積分的產(chǎn)生背景 曲邊梯形的面積問題 變速運(yùn)動路程問題 7 二、定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)，若ini i xf ???? )(lim 10 ??存在，稱 )(xf 在],[ ba 上可積，極限稱為 )(xf 在 ],[ ba 上的定積分，記 ?ba dxxf )( ，即?ba dxxf )( ini i xf ?? ??? )(lim10 ?? 。 （ 2） ???? n0? ，反之不對。 三、定積分基本理論 定理 1 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 ??? xa dttfx )()(，則 )(x? 為 )(xf 的一個原函數(shù)，即)()( xfx ??? 。 （ 2） )()]([)()( xxfdttfdxd xa ??? ??? 。 【例題 1】設(shè) )(xf 連續(xù)，且 ? ?? x dttftxx0 )()()(?，求 )(x?