【正文】 0，則X=Y。232。185。230。232。247。230。248。2247。sBs180。l=0或A=0矩陣的乘法定義3：設(shè)A=(aij)m180。lam1la12Lla1n249。n注意：兩個矩陣是同型矩陣時才能進(jìn)行加法運(yùn)算。247。b1246。247。a232。 矩陣的概念及其運(yùn)算一、矩陣的概念定義：稱由m180。n），那么(1)有唯一解，且解為xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的n階行列式。ax+ax+L+ax=b239。ij163。特別地，若某行（列）為0，則D=0；若某兩行（列）成比例，則D=0。a11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann229。a232。定理：對換改變排列的奇偶性；在全部n級排列中，奇、偶排列的個數(shù)相等，各有二、n階行列式的定義n!個。 a23247。ax+ax+ax=b定義：對于三元線性方程組237。(a11a22a12a21)x2=b2a11b1a21a12=a11a22a12a21稱為二階行列式，記D=A=detAa12a11b1，D2= a22a21b2定義：D=a11a21a22a11a12b1236。 231。其中1的個數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。0L00L0247。230。231。n的矩陣A，總可以經(jīng)過初等變換（包括行變換和列變換）化為如230。為矩陣，簡記為A=(aij)m180。231。239。x3=1+c2239。其中x2,x4為自由未知量。232。00111247。230。232。231。231。12121246。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對其增廣矩陣B進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡形矩陣，然后從中讀出所需的解。231。247。248。174。1009246。248。0101247。174。21019246。232。231。B=231。230。3238。x2x3=5，237。2x1x2+3x3=1236。x2x3=5，237。1236。247。MMM231。a21TA=的一個解為：x=(c1,c2,L,)（或稱為解向量）；此時稱231。La2n247。ax+ax+L+ax=b239。2112222nn(1)237。為系M247。M231。231。bm247。2x1x2+3x3=1236。x2x3=5；239。2x1x2=19236。x2=1，237。3238。2131246。4254247。2026247。248。230。231。 231。232。231。231。232。231。00318247。四、一般解和通解236。230。247。00333247。248。12012246。174。248。238。238。238。a21A=231。n。1231。M231。Er0L10L0247。MMMM247。四、習(xí)題P18T1(4)(5)T2(1)T3 P19 總復(fù)習(xí)題：T3T4第二章行列式教學(xué)目標(biāo)與要求、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì) ，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。247。Dx1=D1那么（2）可以表示為237。211a222222332，記A=231。a33247。：n階矩陣A=(aij)n180。m1a12a22Mam2La1n246。(1)t(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn這里，229。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項(xiàng)之和，則D等于兩個行列式的和。n213。2112222nn2237。推論：(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式D=0。n個數(shù)aij(i=1,2,L,m。m1a12a22Mam2La1n246。Lamn247。231。231。矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B,C都是m180。la22Lla2ns，B=(bij)s180。n（A的列數(shù)等于B的行數(shù)）。231。232。24246。231。36248。00246。AB 247。12248。230。解：（1）A=231。247。232。三、方陣的冪及方陣多項(xiàng)式定義：設(shè)A是n階方陣，則A1=A,A2=AA,L,Ak+1=AkAklk+lklkl方陣的冪滿足的運(yùn)算律：(1)AA=A；(2)(A)=A方陣多項(xiàng)式設(shè)f(x)=a0xm+a1xm1+L+am1x+am(a0185。231。0232。n180。mm性質(zhì)：[diag(l1,l2,L,ln)]m=diag(l1,lm2,L,ln)，m為正整數(shù)。三角矩陣0246。230。231。0A=231。MM247。二、方陣行列式性質(zhì)：①AB=AB=BA（A,B都是n階方陣）n②A=A n③kA=knA三、伴隨矩陣定義：n階行列式A的各個元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣230。A21LAn1246。0時，A=A證明：（1）因?yàn)?30。A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=237。247。231。247。an2Lann248。0時，A=A*nnn1。0167。證明：AB=AB=E=1，故A185。231。c232。db246。25231。X=231。231。246。232。247。=231。 分塊矩陣和初等矩陣一、分塊矩陣設(shè)An180。231。其中Ai與Bi(i=1,2)是同階的子方塊，則 247。 1247。231。247。1247。⑤A=A；⑥A12231。248。247。230。247。231。231。232。則231。13246。231。A=B 01232。12即 E2(1,2(3))E2(2())E2(2,1(2))E2(1,2)A=B初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理1：設(shè)A是一個m180。247。存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使PAQ=B，記為AB。190。190。174。231。248。A的行階梯形含r個非零行219。R(A)+1⑦ R(A+B)163。 247。0；由AA=AE知A=An1185。所以R(A)179。例求A=231。230。231。231。232。231。的秩為3，求a的值0115247。112231。解：A174。231。232。因?yàn)镽(A)=3，所以63a=0，即a=2 174。248。R(A)=n ② 有非零解219。2x1+5x2+3x3=0239。12231。174。231。232。231。013231。236。231。237。3247。232。lx1+lx2+2x3=1239。230。0131247。231。0031247。230。231。232。1121246。231。0010247。248。xx236。247。1矩陣230。為n維列向量；其轉(zhuǎn)置aT=(a1,a2,L,an)稱為n維行向量。①n維向量的相等；②零向量；③負(fù)向量；④加法；⑤數(shù)乘二、向量組的線性組合定義：由若干個同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個向量組。n，則A=(a1,a2,L,an)，其中aj=231。230。M247。例：任何一個n維向量a=(a1,a2,L,an)都可以由n維單位向量組：Te1=(1,0,0,L,0)T，e2=(0,1,0,L,0)T，L，en=(0,0,L,0,1)T線性表示。定義：設(shè)有n維向量組A:a1,a2,L,am，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,L,km使k1a1+k2a2+L+knan=0則稱向量組A線性相關(guān)；否則稱它線性無關(guān)。推論1：當(dāng)向量的個數(shù)等于向量的維數(shù)時，向量組A線性相關(guān)的充要條件是A=0；向量組A線性無關(guān)的充要條件是A185。i163。命題2：若矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價。推論1：兩個等價的線性無關(guān)的向量組必含有相同個數(shù)的向量。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。定理1：若n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩R(A)=rn，則Ax=0的基礎(chǔ)解系恰含有nr個線性無關(guān)的解向量。0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立定義2：令x=[x,x]=22x12+x2+L+xn，稱為n維向量x的長度（或范數(shù)）。定義4：當(dāng)[x,y]=0時，稱向量x與y正交。231。247。1/31/31/3247。aiTaj=237。特征方程：Ax=lx219。n的n個特征值為l1,l2,...,ln，則(1)mmkkT229。A不含零特征值。A可對角化。 實(shí)對稱矩陣的相似矩陣1一、實(shí)對稱矩陣的特征值性質(zhì)定理1：實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。ni=1i=n。a21記A=231。247。LL247。232。為由變量x1,x2,L,xn到變量y1,y2,L,yn.......................................239。L231。LLL247。247。247。231。若C185。+d2x2+L+dnxn二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（1）配方法對任意一個二次型f=xTAx，都可用配方法找到滿秩變換x=Cy，將f化為標(biāo)準(zhǔn)形。190。A與B的正負(fù)慣性指數(shù)相同219。存在可逆矩陣P，使A=PTP219。，《線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)》，中國人民大學(xué)出版社，2008年5月。（二）定義： 我們稱記號為三階行列式。L234。12234。n, 若有Bn180。detAdetA1=1222。detAdetB=1222。kA可逆, 且(kA)1=A1．k11對于kA, 取B=A1, 有(kA)B=(kA)(A1)=AA1=E．kk(3)An180。(AB)*=B*A*．證(AB)*=[det(AB)](AB)1=[(detA)(detB)][B1A1]=[(deBt)B1][(deAt)A1]=B*A*負(fù)冪：A可逆, 定義A0=E, Ak=(A1)k(k=1,2,L), 則有AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(k,l為整數(shù))233。211234。114(A+E)1=A3E應(yīng)用：(1)n階線性方程組求解 An180。n可逆, 且Cm180。234。解并項(xiàng)：(A2E)X=C計(jì)算：X=(A2E)1C0249。234。235。1 9解并項(xiàng)：(A*2E)X=A1左乘A： [(detA)E2A]X=Et=4計(jì)算：deAX=(4E2A)1=1(2EA)12233。2,c174。112233。3234。235。1467249。39249。4343101235。010011249。A22=234。235。A11+B11LA1r+B1r249。234。B11LB1r249。234。Bt1LBtr=Ai1B1j+L+AitBtj234。AB=234。0例1 A=234。E0=233。 B22234。234。235。LAsrA11234。A1234。235。00249。A2m與Bn180。M可逆233。233。X1239。Em=234。AX1=Em239。 =234。b,c,a]’)或 sym(‘[a b c。（或先寫出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。6x1+3x2+2x3+3x4+4x5=5239。b c a]：zeros(m,n)zeros(n)ones(m,n)ones(n)eye(n)magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產(chǎn)生（0,1）區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣：round(A)% 表示對矩陣A中所有元素進(jìn)行四舍五入 length(A)% 返回A的長度（列數(shù)）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行數(shù) 列數(shù) A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素(1).+*.*(2).轉(zhuǎn)置 A’(3).方陣的冪：A^3A=[a1,a2,a3 ](1).U=rref(A)% U為A的行最簡形(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡形, s為首非零元所在列組成的向量(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡形，且給出每一步化簡過程情形1。235。2237。X4X2237。CB235。m, M=234。02315249。233。例2 A=031=234。O234。 A1234。T=234。A21+B22B11233。1234。234。235。1234。 234。235。Cij=[Ai1233。234。234。kAs1LkAsrn233。n234。A11LA1r249。=233。1234。167。234。234。=234。44234。=234。44233。221234。26233。1111234。234。=234。541249。235。20X=A1CXB=C222。0222。235。233。n都可逆222。0222。0充分性．已知detA185。n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．證設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有AB=BA=E, AC=CA=EB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理2 An180。an1a12a22Lan2La1n249。123例3 405106解：原式=58 例4 實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件時ab0ba0=0 101ab0解：ba0=a2+b2a，b為實(shí)數(shù)，若要a2+b2=0，則a，b需同時等于零。在線性代數(shù)中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)時，有（2）這就是二元方程組的解的公式。A的各階順序主子式全為正，即a11La1na11a12M0a110，0，L，Ma21a22an1Lann講教材P184 例3四、習(xí)題P185 T1(1)(3)T2(3)T3T4T5T6 P186 總復(fù)習(xí)題： T4T5T6T7 ；T9T12T13第二篇：線性代數(shù)教案第一章線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學(xué)時）教學(xué)時數(shù)：12學(xué)時教學(xué)目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開定理，行列式的計(jì)算，克萊姆法則解方程組。R(A)=R(B)，且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性定義1：設(shè)實(shí)二次型f(x)=f(x1,x2,L,xn)=xTAx，若對任意x185。174。（2）正交變換法定理：任給二次型f(x)=xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ=Q1AQ=L，其中L=diag(l1,l2,L,ln)，l1,l2,L,ln是A的全部特征值。若C是正交矩陣，則稱線性變換x=Cy為正交變換。231。247。247。248。c232。238。T則二次型f(x1,x2,K,xn)=xAx，其中A為對稱矩陣。247。247。231。ni個（i=1,2,L,s）講教材P164 例1和例2四、習(xí)題P167 T1T2T4 P167 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；T8 T9 T10 T11T12 T13 T14 T15 T16第六章 特征值和特征向量矩陣的對角化 教學(xué)目標(biāo)與要求，了解矩陣的合同關(guān)系，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，掌握二次型正定的判別方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。定理3：設(shè)l是n階實(shí)對稱矩陣A的r重特征值，則R(AlE)=nr，即對應(yīng)特征值l恰有r個線性無關(guān)的特征向量。A的每個k重特征值l對應(yīng)有k個線性無關(guān)的特征向量（或R(AlE)=nk）。四、習(xí)題P157 T1T2T3T4167。aii=1i=1nnii，其中229。AlE=0219。j238。232。2/61/61/6247。=AT），則稱A為正交矩陣。若正交向量組中的每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。向量的長度具有以下性質(zhì)：(1)非負(fù)性：x179。nx=b(2)性質(zhì)1：若h1,h2都是Ax=b的解，則h1h2是Ax=0的解。R(A)+R(B)性質(zhì)2：R(AB)163。推論3：一個向量組的任意兩個最大無關(guān)組所含向量個數(shù)相等。講教材P118例1二、向量組的秩 定義