【正文】 即A230。247。231。即236。四、習(xí)題P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5167。N，則(1)l是方陣A的特征值；(2)f(l)=a0+a1l+L+aml是f(A)=a0E+a1A+L+amA的特征值。A185。A有n個線性無關(guān)的特征向量。(2)對每個li，解齊次線性方程組(AliE)x=0，得基礎(chǔ)解系ai1,ai2,...,aini；(3)令P=(a11,a12,L,a1n1,a21,a22,L,a2n2,L,as1,as2,L,asns)，則PAP=L，其中L=diag(l1,L,l1,l2,L,l2,L,ls,L,ls)，這里li的個數(shù)為ni個（i=1,2,L,s）。其中L=diag(l1,l2,L,ln)，且l1,l2,...,ln是A的n個特征值。a11231。230。x=，231。247。x=cy+cy+L+cy239。231。稱為線性變換的矩陣。y1246。y2247。231。232。四、習(xí)題P175 T1T3T4167。 慣性定理和二次型的正定性AL)190。即規(guī)范形中正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)rp都是唯一確定的。f的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正219?！毒€性代數(shù)》，北京郵電大學(xué)出版社，2005年10月。于是二元方程組的解的公式又可寫為其中D≠0例1 計算51=52（1）3=13 32例2 設(shè)D=l2l31問：(1)當(dāng)λ為何值時D=0(2)當(dāng)λ為何值時D≠0 解：D=l2l31=l23l(1)當(dāng)λ=0或3時，D=0(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時，D≠0含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為（1）還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng)時，有（2）這就是三元方程組的解的公式。a21A=234。A1nA21A22MA2nLAn1249。n．算律：(1)(A+B)=A+B(2)(kA)=kA(3)(AB)=AB(4)(A)=(A)=AH167。n為可逆矩陣222。n, 若有Bn180。A1可逆, 且(A1)1=A．對于A1, 取B=A, 有A1B=A1A=E．(2)A可逆, k185。n與Bn180。101231A22A3E=E222。x=A1y(3)矩陣方程求解設(shè)Am180。233。234。21631=234。0111249。235。密碼問題：a174。A=234。235。action：1, 3, 20, 9, 15, 14 233。加密：A234。發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 233。1249。52234。234。明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action234。234。235。A21A12249。234。234。：Am180。235。MM234。A11LA1t249。n234。LAit]234。234。 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．233。1O249。235。1234。1024110330249。A11233。234。M235。Ai(i=1,2,L,s)可逆(3)Ai(i=1,2,L,s)可逆222。1A2249。500249。234。 A2234。AO249。 解 detM=(detA)(detB)185。233。235。X4X2249。EnCX2+BX4=EnM1233。3 2 1]或 A=[1, 2, 3。情形3。4x1+2x2+x3+2x4+3x5=4例子: +2x+3x+2x+x=02345239。情形2。課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14第四篇：Matlab 與線性代數(shù)教案Matlab 與線性代數(shù)一、Matlab 入門：、退出、運行： ： ： =：賦值符號[ ]：數(shù)組定義符號 , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符。CX1+BX3=O239。O=A1=O=BCA=B111O249。X3239。X235。 , X4235。0235。234。AsA=dia(g234。LAsT1249。M234。：Am180。2234。235。234。B2111012100100249。Cs1LCsr 11 233。234。235。=234。：Am180。Bs1LBsr234。B11LB1r249。234。234。1234。14201581249。43235。233。111234。233。011234。235。121249。231234。X=A1CB1233。nx, detA185。例2 設(shè)An180。234。AT可逆, 且(AT)1=(A1)T．對于AT, 取B=(A1)T, 有ATB=AT(A1)T=(A1A)T=E．(5)A可逆222。n, 若有Bn180。AdetAdetA1A*．由定義知A為可逆矩陣，且A1=detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA185。detA185。重要性質(zhì)：AA*=A*A=(detA)E：復(fù)矩陣A=(aij)m180。LannA11234。n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．233。（一）定義：我們稱記號為二階行列式，它表示兩項的代數(shù)和：即定義（3）二階行列式所表示的兩項的代數(shù)和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，從右上角到左下角兩個元素相乘取負號，即－ ＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母D表示，即有如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項b1，b2，則可得到另一個行列式，用字母D1表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：，這就是公式（2）中x1 的表達式的分子。教學(xué)難點：行列式按行按列展開。三、二次型正定的判別方法定理3：設(shè)A是n階實對稱矩陣，則f=xTAx正定（或A正定）219。對二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形（1）式再作滿秩線性變換(y1,L,yr,yr+1,L,yn)T=diag(11,L，1,L,1)(t1,L,tr,tr+1,L,tn)T k1kr2222則有f=t1+L+tptp+1Ltr，稱之為二次型f的規(guī)范形。設(shè)C=P1P2LPS，則C=PsLP2P1，因此TCTAC=PsTLP2TP1AP1P2LPs①TC=P1P2LPS=EP1P2LPS②①式表示對實對稱矩陣A施行初等列變換的同時也施行相應(yīng)的行變換，將A化為對角陣；②表示單位陣E在相同的初等列變換下就化為C。稱矩陣A與B合同，記為：A~B（合同）定理：若A~，則AB（等價），且R(A)=R(B)。232。MM231。2247。x1246。247。230。講教材P173 例1和例2二、線性變換 236。231。231。n1a12a22Lan2i,j=1229。當(dāng)aij全為實數(shù)時，f稱為實二次型。即實對稱陣一定可以對角化。講教材P160 例1和例2三、小結(jié)n階方陣A對角化的步驟：(1)解特征方程AlE=0，求出A的全部特征值l1,l2,...,ls，其中l(wèi)i是ni重特征值（i=1,2,L,s），s229。相似矩陣的基本性質(zhì)：(1)反身性：對任意方陣A，都有A~A(2)對稱性：若A~B，則B~A(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C定理1：若A~B，則① A與B有相同的特征多項式和特征值；② A=B； ③ R(A)=R(B)；mm④ A與B也相似（m為正整數(shù)）；1⑤ tr(A)=tr(B)二、矩陣可對角化的條件定義：n階方陣A可以相似于一個對角矩陣L，則稱A可對角化。li=Ai=1n證明： 由特征值的定義可得a11la12La1na2nM j(l)=AlE=a21Man1a22lLMOan2Lannl=(a11l)(a22l)L(annl)+L=(1)nln+(1)n1(a11+a22+L+ann)ln1+L由題設(shè)可知 j(l)=AlE=(l1l)(l2l)L(lnl)=(1)nln+(1)n1(l1+l2+L+ln)ln1+L+(l1l2Lln)比較多項式同次冪的系數(shù)可得a11+a22+L+ann=l1+l2+L+ln，A=j(0)=l1l2Lln推論：A=0219。講教材P152 例3和例4三、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)A是n階方陣，則A與A有相同的特征值。1；(2)A,A,AB也是正交方陣。TT1定理2：A為正交矩陣219。247。01/21/2246。二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是將一組線性無關(guān)的向量a1,a2,L,ar，化為一組與之等價的正交向量組b1,b2,L,br的方法。0，y185。*定理2：設(shè)h是非齊次線性方程組Ax=b的一個解，x1,x2,L,xnr是對應(yīng)的導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解為h=h*+k1x1+k2x2+L+knrxnr其中k1,k2,L,knr為任意常數(shù)。 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對于齊次線性方程組Am180。定理239。顯然，最大無關(guān)組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無關(guān)組等價。四、習(xí)題P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)167。定理4：(1)設(shè)向量組A:a1,a2,L,am線性無關(guān)，而向量組B:a1,a2,L,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。④ 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。三、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)齊次線性方程組Am180。b247。231。231。247。a247。231。248。R）238。248。248。174。1131247。R(B)，所以方程組無解。232。247。00因R(A)=2，R(B)=3，R(A)185。0031247。231。0131246。lx1+lx2+(l+3)x3=2l1ll2ll2解：A=l2l13=0l11=l(l1)(l+1)lll+300l+1由克拉默法則知，當(dāng)l185。x3=x4239。1247。247。2247。230。232。231。1008246。232。231。231。1090246。A=0定理3：矩陣方程AX=B有解219。R(A)=R(A,b)=n② 有無窮多解219。247。112231。231。247。231。a3246。2232。232。231。174。231。232。********230。n，R(A)163。R(A*)=237。s=O，則R(A)+R(B)163。④ 若A~B則R(A)=R(B)（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）⑤ 若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(A)⑥ max{A,B}163。若R(A)=r，則A中至少有一個r階子式不為0，且所有r+1階子式都為0。=1,=0等都是A的一個2階子式。k163。（四、習(xí)題P91 T1T2(1)(2)T31AE)190。190。存在可逆矩陣P,Q，使PAQ=B求逆方法的推導(dǎo)：111由定理4的A=P1P2LPk，得PkLP2P1A=E（1）1111（1）式兩端分別右乘A，得PkLP2P1E=A（2）1上述兩式表明，用一樣的初等行變換將A變成E的同時，會將E變成A。m180。231。232。231。247。10246。232。231。231。247。230。解：A=231。24246。O231。OA2248。232。231。 O247。 A2B2247。OA2248。230。3247。232。=231。247。230。411247。719232。247。當(dāng)A=adbc185。232。0可知，AB也可逆。0時，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣。A185。00LA247。247。247。231。230。M231。247。M231。n，則AT=(aij)n180。0L0246。232。231。247。0lLlE=lE=231。=diag(l1,l2,L,ln)MM247。性質(zhì)：EA=AE=A 247。231。1231。232。,Y=231。11247。230。BA。247。247。4246。16248。247。4246。247。230。aikbkj(i=1,2,L,m。Llamn234。二、矩陣的運算矩陣的加法定義1：設(shè)A=(aij)m180。行矩陣（行向量）：A=(a1,a2,L,an)；列矩陣（列向量）：A=231。n219。n=Am180。a21A=231?？死▌t的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系。an1x1+an2x2+L+annxn=bn稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bn=0時稱為齊次線性方程組。j)11例證：如322243331444=1A11+2A12+3A13+4A14=a21A11+a22A12+a23A13+a24A14=021四、習(xí)題P46T2(3)(4)(5)167。 行列式的展開公式一、余子式與代數(shù)余子式定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來的順序所構(gòu)成的n1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij=(1)i+jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。標(biāo)排列j1j2Ljn的逆序數(shù)。247。a=231。 n階行列式的定義和性質(zhì)一、排列與逆序數(shù)：由1,2,L,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。31a32238。a11x1+a12x2+a13x3=b1230。用消元法解得 237。247。247。231。1L00L0247。下的標(biāo)準(zhǔn)形：F=231。248。m1a12a22Mam2La1n246。n個數(shù)aij(i=1,2,L,m。ax+ax+L+ax=0239。x=c239。236。00000247。247。248。00333247。231。247。x2x2x+x=4234238。248。稱為行階梯形矩陣，231。213230。231。174。230。231。0115247。247。230。0412247。174。247。2131246。x=6239。239。23238。239。例1：解線性方程組237。b2247。a11a12La1n231。230。am1x1+am2x2+L+amnxn=bm稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)b1=b2=L=bm=0時則稱為齊次線性方程組。第一篇：線性代數(shù)教案第一章線性方程組的消元法與矩陣的初等變換教學(xué)目標(biāo)與要求 教學(xué)重點運用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學(xué)難點矩陣的初等變換167。238。248。m1230。247。2x1x2+3x3=1239。239。3x=18238。239。x=6239。故我們隱去x1,x2,x3,=，得到一個數(shù)字陣（即矩陣B），對B進行初等行變換：230。231。0412247。231。1246。231。231。0016247。248。247。0016247。230。0115247。232。2x1+4x2+x3+x4=5239。1231。174。231。232。231。 231。即237。x1=22c1c2239。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0239。 矩陣的初等變換一、矩陣及其初等變換定義：稱由m180。a232。Lamn247。M231。247。F=231。O246。a11a12246。a21a22248。DD236。a3232。a11三對角線法則（記憶）：D=a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、習(xí)題P25 T1(2)(3)(5)T2T3167。231。則n階行列式定義如下： M247。例：（常用結(jié)論）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMOan2Lannl1（2）l2N=(1)l1l2Llnlnn階行列式的等價定義定理：D=t1+t2(1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1為行標(biāo)排列i1i2Lin的逆序數(shù)，t2為列229。四、習(xí)題P36T1