【正文】 3 = (?–2)(?–4). x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 x1 x2 = k 1 ?1 (0 ? k ? R). k ?k (0?k?R). 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 解 : |?E–A| = (?–2)(?–1)2. 所以 A的特征值為 ?1=2, ?2= ?3= 1. 對于 ?1=2, 求得 (2E–A)x = 0 的基礎(chǔ)解系 : p1=(0,0,1)T. 對應(yīng)于 ?1=2的特征向量為 kp1 (0?k?R). 對于 ?2=?3=1, 求得 (E–A)x = 0 的基礎(chǔ)解系 : p2=(–1, –2,1)T. 對應(yīng)于 ?2=?3 =1的特征向量為 kp2 (0?k?R). 例 12. 求 的特征值和特征向量 . ???????????2 0 1 0 3 40 1 1A《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 解 : |?E–A| = (?+1)(? –2)2. 所以 A的特征值為 ?1= –1, ?2= ?3= 2. (–E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系 : p1=(1,0,1)T. 對應(yīng)于 ?1= –1的特征向量為 kp1 (0?k?R). (2E–A)x = 0的基礎(chǔ)解系 : p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T. 對應(yīng)于 ?2=?3 =2的特征向量為 k2p2 +k3p3 (k2, k3不同時(shí)為零 ). 例 13. 求 的特征值和特征向量 . ???????????3 1 40 2 0 1 1 2A《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 相 似 矩 陣 反身性 ,對稱性 ,傳遞性 A~B ? A?B(相抵 /等價(jià) ) A~B ? |A| = |B| A~B ? r(A) = r(B) A~B ? 多項(xiàng)式 f(A) ~ f(B) A~B?|?E–A|=|?E–B| 性質(zhì) A與 B相似 (A~B): 存在 可逆陣 P使 P?1AP =B A~B ? tr(A) = tr(B) 定義 相似 對角 化 An?n有 n個(gè)不同的特征值 ? An?n~對角陣 An?n~對角陣 ?A有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 實(shí)對稱矩陣一定可以正交相似對角化 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 求 |?I–A| = 0的根 有重根嗎 ? 無 A可以相似對角化 有 秩 (?iI?A) = n?ni? 否 Jordan化 A不能相似對角化 是 求 n個(gè)線性無關(guān)的 特征向量 p1, …, pn, 令 P = [p1, …, pn] P –1AP=diag[?1,…, ?n] 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 14. 把 正交相似對角化 . ?????????3 1 01 3 00 0 4A解 : |?I–A| = (?–2)(?–4)2. 所以 A的特征值為 ?1= 2, ?2= ?3= 4. (2I–A)x = ?的基礎(chǔ)解系 ?1= (0,1, –1)T. (4I–A)x = ?的基礎(chǔ)解系 ?2=(1, 0, 0)T, ?3=(0, 1, 1)T. 由于 ?1, ?2, ?3已經(jīng)是正交的了 , 將它們單位化即 可得 ,2/1 0 2/12/1 0 2/1 0 1 0 ????????????Q .4 0 00 4 00 0 2T1??????????? AA《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 注 : 對于 ?2=?3=4, 若取 (4I–A)x = ?的基礎(chǔ)解系 ?2=(1, 1, 1)T, ?3=(–1, 1, 1)T, 則需要將它們正交化 . 取 ?1= ?2, 。 (?1)A = ?A 乘法 AB A的列數(shù) = B的行數(shù) (aij)m?l(bij)l?n = (cij)m?n cij = (AB)C = A(BC)?！?線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》復(fù)習(xí)要點(diǎn) 張小向 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 Email: 版本號 : 一 . 行列式 二 . 矩陣 三 . 向量 四 . 線性方程組 六 . 二次型 七 . 綜合與提高 五 . (小結(jié) )初等變換在線性代數(shù)中的地位 內(nèi)容提要 一 . 行列式 ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) 一 . 行列式 行 列 式 定義 性質(zhì) 計(jì)算 方程組 秩 秩 極大無關(guān)組 線性相關(guān)性 特征多項(xiàng)式 伴隨矩陣 逆矩陣 應(yīng)用 克拉默法則 面積 /體積 矩 陣 向量組 叉積 /混合積 幾 何 ? 一 . 行列式 行 列 式 的 定 義 低 階 一 般 一階 遞推 公式 1221() 12( 1 ) nnj jj jj njN a a a??2211() 12( 1 ) nni iN ii i nia a a?? 排列 組合 a11A11+a12A12+…+ a1nA1n a11A11+a21A21+…+ an1An1 數(shù) 二階 三階 對角線法則 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) 行列式 的 性質(zhì) ? 一 . 行列式 性質(zhì) 1. 互換行列式中的兩列 , 行列式變號 . 推論 . 若行列式 D 中有兩列完全相同 , 則 D = 0. 性質(zhì) 2. (線性性質(zhì) ) (1) det(?1, …, k?j, …, ?n) = kdet(?1, …, ?j, …, ?n)。 A(B+C) =AB+AC。1 1 232111311 1 1||||,2222332 ???????? ??????????????????? ?????? ??????再單位化 , 即得 .6/1 3/1 2/16/1 3/1 2/1 6/2 3/1 0 ),( 321?????????????? qqqQ《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 15. 設(shè) 3階實(shí)對稱矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 (?–1)2(?–10), 且 ?3 = [1, 2, ?2]T是對應(yīng)于 ?=10的特征向量 . (1)證明 : ?是對應(yīng)于 ?= 1的特征向量 ? ?與 ?3正交 。 (AB)T = BTAT 多項(xiàng)式 f(A) A是一個(gè)方陣 , f(x) = asxs +… + a1x + a0 f(A) = asAs +… +a1A+a0I A? = ?? (? ? ?)?f(A)? = f(?)?, A? = ?? (? ? ?), f(A)? = O ? f(?) = 0 行列式 |A| A是一個(gè)方陣 ? ? , |A?1| = |A|?1 逆矩陣A?1 A是一個(gè)方陣且 |A|?0 若 AB = BA = I則 B = A?1 唯一性 , (A?1)?1 = A, (A?1)m = (Am)?1, (AT)?1 = (A?1)T, (kA)?1 = k?1A?1, (AB)?1 = B?1A?1, 滿秩 , 特征值 ?0 1n ik kjk ab?? 矩陣 的 運(yùn)算 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 行矩陣 列 矩 陣 零矩陣 初等 矩陣 對稱 矩陣 對角 矩陣 單位矩陣 反對稱 矩陣 正交 矩陣 正定 矩陣 可逆 矩陣 數(shù)量 矩陣 方陣 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 行矩陣 A1?n: 只有一行 , 又名 行向量 . 列矩陣 An?1: 只有一列 , 又名 列向量 . 零矩陣 : 每個(gè)元素都是 0, 常記為 Om?n或 O. 初等矩陣 : 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得 . 方陣 : 行數(shù) =列數(shù) . 對稱矩陣 : AT = A. 對角矩陣 : diag{?1, ?2, …, ?n}, 常用 ?表示 . 數(shù)量矩陣 : kE, kI, 其中 k為常數(shù) . 單位矩陣 : 主對角線元素都是 1, 其余元素都是 0, 常記為 E或 I. 反對稱矩陣 : AT = ?A. 正交矩陣 : QTQ = T = E. 正定矩陣 : AT = A且 ?x ?? 有 xTAx 0. 可逆矩陣 : AB = BA = E. 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 乘 積 向量組之間的線性表示 (系數(shù)矩陣 ) 線性變換的合成 (z = By = BAx) 二次型的矩陣表達(dá)式 ( f(x) = xTAx) 不滿足消去律 結(jié)合律的妙用 不滿足交換律 線性方程組的 矩陣表達(dá)式 (Ax = b) 兩組基之間的聯(lián)系 (過渡矩陣 ) 有非平凡的零因子 應(yīng)用 定義 性質(zhì) (??T)k (P?1AP)k 向量的內(nèi)積 ( ??, ?? = ?T? ) 實(shí)際問題 (背景 ) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . 例如 : (1 2) = 11, 3 4 3 4 (1 2) = 3 6 4 8 . 而 又如 : = 1 1 0 1 1 2 3 4 4 6 3 4 , 而 = 1 1 0 1 1 2 3 4 1 3 3 7 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (2) (AB)2和 A2B2未必相等 . 例如 : A = 1 1 0 0 , , B = 1 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 , A2B2 = AB = 1 0 1 0 = 2 0 0 0 4 0 0 0 . 而 (AB)2 = 2 0 0 0 = 1 1 0 0 1 1 0 0 = A, A2 = 1 1 0 0 = 1 0 1 0 1 0 1 0 = B, B2 = 1 0 1 0 = 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (2) (AB)2和 B2A2未必相等 . (3) (A + B)2和 A2 + 2AB + B2未必相等 , (