【正文】 = 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 值得注意的現(xiàn)象 : (1) AB和 BA未必相等 . (4) ―AB = O‖推不出“ A = O或 B = O‖. (5) ―AB = AC且 A ? O‖推不出“ B = C‖. (2) (AB)2和 B2A2未必相等 . (3) (A + B)2和 A2 + 2AB + B2未必相等 , (A + B)(A ? B)和 A2 ? B2未必相等 . 例如 : (1 0) 0 2 = 0 = (1 0) 0 3 , 但 , 0 2 ? 0 3 又如 : = 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 , 1 0 0 0 0 0 0 3 = . 0 0 0 2 0 0 0 3 但 ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 逆矩陣 n 階 方 陣 A 可 逆 的 充 要 條 件 定義 : AB=BA=I 存在方陣 B使 AB=I 存在方陣 B使 BA=I |A| ? 0 Ax = ? 只有零解 Ax = b 有唯一解 秩 (A) = n A的行 (列 )向量組 線性無關(guān) A與 I相抵 (等價(jià) ) A為有限多個(gè)初等 矩陣的乘積 A的特征值全非零 計(jì)算 A?1 利用 伴隨矩陣 利用 初等變換 (A?1)?1 = A 唯一性 (A?1)m = (Am)?1 (AT)?1 = (A?1)T (kA)?1 = k?1A?1 (AB)?1 = B?1A?1 |A?1| = |A|?1 若 A可逆 , 則 秩 (AB) = 秩 (B) 秩 (CA) = 秩 (C) ?是 A的特征值 ? ??1是 A?1的特征值 n 階 可 逆 矩 陣 的 性 質(zhì) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 7. 求下列方陣的逆矩陣 . (1) A = 1 2 3 4 , 1 2 3 2 2 1 3 4 3 (2) B = . 解 : (1) A?1 = |A| 1 A* = ? 2 1 4 ?2 ?3 1 . (2) |B| = 2 ? 0, B?1 = |B| 1 B* B11 = (?1)1+1 2 1 4 3 = 2, B21 =6, B31 = ?4, B12 = ?3, B22 = ?6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = ?2. = 2 1 2 6 ?4 ?3 ?6 5 2 2 ?2 . 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 設(shè) A可逆 , 則 A可以經(jīng)過有限次初等 行 變換化為 行 最簡(jiǎn)形 ——單位矩陣 E. A ? ? ? ? ? … ? ? ? E (A E) ? ? ? ? ? … ? ? ? (E ?) P1(A E) P2P1(A E) Pl1… P2P1(A E) Pl Pl1… P2P1(A E) P1A P2P1A Pl1… P2P1A Pl Pl1… P2P1A (Pl Pl1… P2P1A, Pl Pl1… P2P1) ? = A?1 ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 8. 設(shè) A = , 求 A?1. 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1 解 : 初等 行 變換 1 0 0 1 3 ?2 0 1 0 ?3/2 ?3 5/2 0 0 1 1 1 ?1 故 A?1 = 1 3 ?2 ?3/2 ?3 5/2 1 1 ?1 . 1 2 3 2 2 1 3 4 3 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 設(shè) A可逆 , 則 A可以經(jīng)過有限次初等 行 變換化為 行 最簡(jiǎn)形 ——單位矩陣 E. 下面用初等變換解矩陣方程 AX = B. 注意到 X = A?1B. (A B)? ? ? ? ? … ? ? ? (E ?) P1(A B) P2P1(A B) Pl1… P2P1(A B) Pl Pl1… P2P1(A B) (Pl Pl1… P2P1A, Pl Pl1… P2P1B) ? = A?1B = X ? 分塊矩陣 初等 行 變換 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 加法 逆矩陣 乘法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 行列式 用初等行變換求 A?1 (A, E)?(E, A?1) 解 AX = B (A, B)?(E, A?1B) Ax = b的增廣矩陣 (A, b) 向量組 ?矩陣 矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 (Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 ) 矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 Em ?n (r) 分 塊 矩 陣 運(yùn) 算 應(yīng) 用 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運(yùn) 算 注 : 分塊之前 A與 B是同類型的 , 分塊之后 , 與 Aij對(duì)應(yīng)的 Bij是 同類型的 (否則加不起來 ). 加法 逆矩陣 乘法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 行列式 B = B11 … B1t … … … Bs1 … Bst A + B = A11+B11 … A1t+B1t … … … As1+Bs1 … Ast+Bst A = A11 … A1t … … … As1 … Ast , 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運(yùn) 算 加法 逆矩陣 乘法 數(shù)乘 轉(zhuǎn)置 行列式 k 為一個(gè)數(shù) kA = kA11 … kA1t … … … kAs1 … kAst A = A11 … A1t … … … As1 … Ast , Easy! 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 矩 陣 的 分 塊 運(yùn) 算 注 : 分塊之前 A的列數(shù)等于 B的 行數(shù) 。 (2)求 A. 特征向量可取為 x1+2x2?2x3=0的基礎(chǔ)解系 : ?1=[2, 1, 2]T, ?2 =[?2, 2, 1]T, Q = ??????????3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 , 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 Q = ??????????3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 , 它滿足 QTAQ = Q?1AQ = ? = ????????1000010001 , 由此可得 A = Q?QT ???????????542452222 . = 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) 幾個(gè)概念之間的聯(lián)系 ? 三 . 向量 三 . 向量 線性 運(yùn)算 度量 內(nèi)積 線性 映射 向量 向量組 矩陣 線性方程組 代數(shù)向量 幾何向量 線性組合 線性表示 線性相關(guān)性 基 維數(shù) 極大無關(guān)組 秩 向量空間 長(zhǎng)度 夾角 單位向量 正交 線性變換 正交變換 正交矩陣 Schmidt正交化方法 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 n維向量的概念 n 維 向 量 本 質(zhì) 表現(xiàn)形式 幾何背景 n個(gè)數(shù) a1, a2, …, an 構(gòu)成的有序數(shù)組 向量 /點(diǎn)的坐標(biāo) 列矩陣 行矩陣 行向量 列向量 分量 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 列向量組 : ?1, ?2, …, ?s 矩陣 A = (?1, ?2, …, ?s) 矩陣 A的秩 向量組 ?1, ?2, …, ?s的秩 r(?1, ?2, …, ?s) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 行向量組 : ?1, ?2, …, ?s 矩陣 A的秩 向量組 ?1, ?2, …, ?s的秩 矩陣 A = ?1 ?2 ?s … r(?1, ?2, …, ?s) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 r(?1, ?2, …, ?s) ? s r(?1, ?2, …, ?s) s r(?1, ?2, …, ?s) = s ?1, ?2, …, ?s 線性無關(guān) ?1, ?2, …, ?s 線性相關(guān) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 A = a11 a12 … a1s a21 a22 … a2s … … … … an1 an2 … ans = (?1, ?2, …, ?s), ? = b1 b2 bn … , x = x1 x2 xs … , a11x1 + a12x2 + … + a1sxs = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2sxs = b2 … … … … … an1x1 + an2x2 + … + ansxs = bn Ax = ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 = b1 b2 … bn = ? a11x1 + a12x2 + … + a1sxs = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2sxs = b2 … … … … … an1x1 + an2x2 + … + ansxs = bn Ax = ? a11 a21 … an1 = x1 + x2 a12 a22 … an2 +…+ xs a1s a2s … ans a11x1 + a12x2 + … + a1sxs a21x1 + a22x2 + … + a2sxs … … … … an1x1 + an2x2 + … + ansxs = x1?1 + x2?2 + … + xs?s Ax =?有解 ? ? 能由 ?1, ?2, …, ?s 線性表示 Ax = ? 有非零解 ? ?1, ?2, …, ?s 線性相關(guān) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 ???????????????????????????