【正文】 (2)求 A. 特征向量可取為 x1+2x2?2x3=0的基礎(chǔ)解系 : ?1=[2, 1, 2]T, ?2 =[?2, 2, 1]T, Q = ??????????3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 , 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 Q = ??????????3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 , 它滿足 QTAQ = Q?1AQ = ? = ????????1000010001 , 由此可得 A = Q?QT ???????????542452222 . = 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) 幾個(gè)概念之間的聯(lián)系 ? 三 . 向量 三 . 向量 線性 運(yùn)算 度量 內(nèi)積 線性 映射 向量 向量組 矩陣 線性方程組 代數(shù)向量 幾何向量 線性組合 線性表示 線性相關(guān)性 基 維數(shù) 極大無關(guān)組 秩 向量空間 長(zhǎng)度 夾角 單位向量 正交 線性變換 正交變換 正交矩陣 Schmidt正交化方法 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 n維向量的概念 n 維 向 量 本 質(zhì) 表現(xiàn)形式 幾何背景 n個(gè)數(shù) a1, a2, …, an 構(gòu)成的有序數(shù)組 向量 /點(diǎn)的坐標(biāo) 列矩陣 行矩陣 行向量 列向量 分量 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 列向量組 : ?1, ?2, …, ?s 矩陣 A = (?1, ?2, …, ?s) 矩陣 A的秩 向量組 ?1, ?2, …, ?s的秩 r(?1, ?2, …, ?s) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 行向量組 : ?1, ?2, …, ?s 矩陣 A的秩 向量組 ?1, ?2, …, ?s的秩 矩陣 A = ?1 ?2 ?s … r(?1, ?2, …, ?s) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 r(?1, ?2, …, ?s) ? s r(?1, ?2, …, ?s) s r(?1, ?2, …, ?s) = s ?1, ?2, …, ?s 線性無關(guān) ?1, ?2, …, ?s 線性相關(guān) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 A = a11 a12 … a1s a21 a22 … a2s … … … … an1 an2 … ans = (?1, ?2, …, ?s), ? = b1 b2 bn … , x = x1 x2 xs … , a11x1 + a12x2 + … + a1sxs = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2sxs = b2 … … … … … an1x1 + an2x2 + … + ansxs = bn Ax = ? 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 = b1 b2 … bn = ? a11x1 + a12x2 + … + a1sxs = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2sxs = b2 … … … … … an1x1 + an2x2 + … + ansxs = bn Ax = ? a11 a21 … an1 = x1 + x2 a12 a22 … an2 +…+ xs a1s a2s … ans a11x1 + a12x2 + … + a1sxs a21x1 + a22x2 + … + a2sxs … … … … an1x1 + an2x2 + … + ansxs = x1?1 + x2?2 + … + xs?s Ax =?有解 ? ? 能由 ?1, ?2, …, ?s 線性表示 Ax = ? 有非零解 ? ?1, ?2, …, ?s 線性相關(guān) 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 ????????????????????????????????????msssmm aaaaaaaaaA????212221212111, :????????????mnmmnnccccccccc 212222111211???????????????????msmmssaaaaaaaaa 212222111211???????????????????snssnnbbbbbbbbb 212222111211???????????????????????????????????????????mnnnmm cccccccccC????212221212111, :簡(jiǎn)記為 A : ?1, ?2, …, ?s, C : ?1, ?2, …, ?n. 若 ?j = b1j?1 + b2j?2 + …+ bsj?s , j =1,2,…, n, 即 = ?1 ?2 ?n ?1 ?2 ?s 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 ] [ ] [] [212222111211snssnnbbbbbbbbb???????] [ ] [] [212222111211mnmmnnccccccccc???????簡(jiǎn)記為 B: ?1, ?2, …, ?s, C : ?1, ?2, …, ?m. 若 ?i = ai1?1 + ai2?2 + …+ ais?s, i =1,2,…, m, 即 B: C: ????????????mnmmnnccccccccc 212222111211???????????????????msmmssaaaaaaaaa 212222111211???????????????????snssnnbbbbbbbbb 212222111211???????= ?1 ?2 ?s ?m ?1 ?2 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 三 . 向量 ????????????mnmmnnccccccccc 212222111211???????????????????msmmssaaaaaaaaa 212222111211????????????????
。1 1 232111311 1 1||||,2222332 ???????? ??????????????????? ?????? ??????再單位化 , 即得 .6/1 3/1 2/16/1 3/1 2/1 6/2 3/1 0 ),( 321?????????????? qqqQ《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 例 15. 設(shè) 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 (?–1)2(?–10), 且 ?3 = [1, 2, ?2]T是對(duì)應(yīng)于 ?=10的特征向量 . (1)證明 : ?是對(duì)應(yīng)于 ?= 1的特征向量 ? ?與 ?3正交 。 (AB)T = BTAT 多項(xiàng)式 f(A) A是一個(gè)方陣 , f(x) = asxs +… + a1x + a0 f(A) = asAs +… +a1A+a0I A? = ?? (? ? ?)?f(A)? = f(?)?, A? = ?? (? ? ?), f(A)? = O ? f(?) = 0 行列式 |A| A是一個(gè)方陣 ? ? , |A?1| = |A|?1 逆矩陣A?1 A是一個(gè)方陣且 |A|?0 若 AB = BA = I則 B = A?1 唯一性 , (A?1)?1 = A, (A?1)m = (Am)?1, (AT)?1 = (A?1)T, (kA)?1 = k?1A?1, (AB)?1 = B?1A?1, 滿秩 , 特征值 ?0 1n ik kjk ab?? 矩陣 的 運(yùn)算 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 行矩陣 列 矩 陣 零矩陣 初等 矩陣 對(duì)稱 矩陣 對(duì)角 矩陣 單位矩陣 反對(duì)稱 矩陣 正交 矩陣 正定 矩陣 可逆 矩陣 數(shù)量 矩陣 方陣 《 線性代數(shù) 》《 幾何與代數(shù) 》 復(fù)習(xí)要點(diǎn) ? 二 . 矩陣 行矩陣 A1?n: 只有一行 , 又名 行向量 . 列矩陣 An?1: 只有一列 , 又名 列向量 . 零矩陣 : 每個(gè)元素都是 0, 常記為 Om?n或 O. 初等矩陣 : 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得 . 方陣 : 行數(shù) =列數(shù) . 對(duì)稱矩陣 : AT = A. 對(duì)角矩陣 : diag{?1, ?2, …, ?n}, 常用 ?表示 . 數(shù)量矩陣 : kE, kI, 其中 k為常數(shù) . 單位矩陣 : 主對(duì)角線元素都是 1, 其余元素都是 0, 常記為 E或 I. 反對(duì)稱矩陣 : AT = ?A. 正交矩陣 : QTQ = T = E. 正定矩陣 : AT =