【正文】 A,A,AB也是正交方陣。特征方程：Ax=lx219。講教材P152 例3和例4三、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)A是n階方陣，則A與A有相同的特征值。n的n個特征值為l1,l2,...,ln，則(1)mmkkT229。li=Ai=1n證明： 由特征值的定義可得a11la12La1na2nM j(l)=AlE=a21Man1a22lLMOan2Lannl=(a11l)(a22l)L(annl)+L=(1)nln+(1)n1(a11+a22+L+ann)ln1+L由題設(shè)可知 j(l)=AlE=(l1l)(l2l)L(lnl)=(1)nln+(1)n1(l1+l2+L+ln)ln1+L+(l1l2Lln)比較多項式同次冪的系數(shù)可得a11+a22+L+ann=l1+l2+L+ln，A=j(0)=l1l2Lln推論：A=0219。A不含零特征值。相似矩陣的基本性質(zhì)：(1)反身性：對任意方陣A，都有A~A(2)對稱性：若A~B，則B~A(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C定理1：若A~B，則① A與B有相同的特征多項式和特征值；② A=B； ③ R(A)=R(B)；mm④ A與B也相似（m為正整數(shù)）；1⑤ tr(A)=tr(B)二、矩陣可對角化的條件定義：n階方陣A可以相似于一個對角矩陣L，則稱A可對角化。A可對角化。講教材P160 例1和例2三、小結(jié)n階方陣A對角化的步驟：(1)解特征方程AlE=0，求出A的全部特征值l1,l2,...,ls，其中l(wèi)i是ni重特征值（i=1,2,L,s），s229。 實對稱矩陣的相似矩陣1一、實對稱矩陣的特征值性質(zhì)定理1：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。即實對稱陣一定可以對角化。ni=1i=n。當aij全為實數(shù)時，f稱為實二次型。a21記A=231。n1a12a22Lan2i,j=1229。247。231。LL247。231。232。講教材P173 例1和例2二、線性變換 236。為由變量x1,x2,L,xn到變量y1,y2,L,yn.......................................239。230。L231。247。LLL247。x1246。247。2247。247。MM231。231。232。若C185。稱矩陣A與B合同，記為：A~B（合同）定理：若A~，則AB（等價），且R(A)=R(B)。+d2x2+L+dnxn二、化二次型為標準形（1）配方法對任意一個二次型f=xTAx，都可用配方法找到滿秩變換x=Cy，將f化為標準形。設(shè)C=P1P2LPS，則C=PsLP2P1，因此TCTAC=PsTLP2TP1AP1P2LPs①TC=P1P2LPS=EP1P2LPS②①式表示對實對稱矩陣A施行初等列變換的同時也施行相應的行變換，將A化為對角陣；②表示單位陣E在相同的初等列變換下就化為C。190。對二次型f的標準形（1）式再作滿秩線性變換(y1,L,yr,yr+1,L,yn)T=diag(11,L，1,L,1)(t1,L,tr,tr+1,L,tn)T k1kr2222則有f=t1+L+tptp+1Ltr，稱之為二次型f的規(guī)范形。A與B的正負慣性指數(shù)相同219。三、二次型正定的判別方法定理3：設(shè)A是n階實對稱矩陣，則f=xTAx正定（或A正定）219。存在可逆矩陣P，使A=PTP219。教學難點：行列式按行按列展開。，《線性代數(shù)學習與考試指導》，中國人民大學出版社，2008年5月。（一）定義：我們稱記號為二階行列式，它表示兩項的代數(shù)和：即定義（3）二階行列式所表示的兩項的代數(shù)和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，從右上角到左下角兩個元素相乘取負號，即－ ＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母D表示，即有如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項b1，b2，則可得到另一個行列式，用字母D1表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：，這就是公式（2）中x1 的表達式的分子。（二）定義： 我們稱記號為三階行列式。n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．233。L234。A11234。12234。Lann重要性質(zhì)：AA*=A*A=(detA)E：復矩陣A=(aij)m180。n, 若有Bn180。detA185。detAdetA1=1222。AdetAdetA1A*．由定義知A為可逆矩陣，且A1=detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA185。detAdetB=1222。n, 若有Bn180。kA可逆, 且(kA)1=A1．k11對于kA, 取B=A1, 有(kA)B=(kA)(A1)=AA1=E．kk(3)An180。AT可逆, 且(AT)1=(A1)T．對于AT, 取B=(A1)T, 有ATB=AT(A1)T=(A1A)T=E．(5)A可逆222。(AB)*=B*A*．證(AB)*=[det(AB)](AB)1=[(detA)(detB)][B1A1]=[(deBt)B1][(deAt)A1]=B*A*負冪：A可逆, 定義A0=E, Ak=(A1)k(k=1,2,L), 則有AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(k,l為整數(shù))233。211234。234。114例2 設(shè)An180。(A+E)1=A3E應用：(1)n階線性方程組求解 An180。nx, detA185。n可逆, 且Cm180。X=A1CB1233。231234。234。解并項：(A2E)X=C計算：X=(A2E)1C0249。21249。234。1235。235。1234。 9解并項：(A*2E)X=A1左乘A： [(detA)E2A]X=Et=4計算：deAX=(4E2A)1=1(2EA)12233。0112,c174。233。112234。111233。233。3234。235。235。144367249。381249。9249。15432043141011234。235。234。010234。011249。A22B11LB1r249。=234。234。235。Bs1LBsrA11+B11LA1r+B1r249。234。：Am180。B11LB1r249。=234。234。235。Bt1LBtr234。=Ai1B1j+L+AitBtj234。 11 233。AB=234。Cs1LCsr0例1 A=234。1012100100249。E01=233。B21234。 B22235。234。2234。：Am180。234。M234。235。LAsT1249。LAsrA=dia(g234。AsA11234。234。A1234。235。235。00249。0A2m與Bn180。235。M可逆233。 , X4233。X235。X1239。X3239。Em=234。O=A1=O=BCA=B111O249。AX1=Em239。CX1+BX3=O239。 =234。課后作業(yè)：習題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14第四篇：Matlab 與線性代數(shù)教案Matlab 與線性代數(shù)一、Matlab 入門：、退出、運行： ： ： =：賦值符號[ ]：數(shù)組定義符號 , 區(qū)分列 函數(shù)參數(shù)分隔符。b,c,a]’)或 sym(‘[a b c。情形2。（或先寫出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。4x1+2x2+x3+2x4+3x5=4例子: +2x+3x+2x+x=02345239。6x1+3x2+2x3+3x4+4x5=5239。情形3。b c a]：zeros(m,n)zeros(n)ones(m,n)ones(n)eye(n)magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產(chǎn)生（0,1）區(qū)間均勻分布的隨機矩陣：round(A)% 表示對矩陣A中所有元素進行四舍五入 length(A)% 返回A的長度（列數(shù)）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行數(shù) 列數(shù) A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素(1).+*.*(2).轉(zhuǎn)置 A’(3).方陣的冪：A^3A=[a1,a2,a3 ](1).U=rref(A)% U為A的行最簡形(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡形, s為首非零元所在列組成的向量(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡形，且給出每一步化簡過程情形1。3 2 1]或 A=[1, 2, 3。235。CX2+BX4=EnM1233。2237。EnX4X4X2249。X2237。235。CB233。235。 解 detM=(detA)(detB)185。m, M=234。AO249。023234。15249。 A2233。234。例2 A=031=234。500249。O1A2249。234。Ai(i=1,2,L,s)可逆(3)Ai(i=1,2,L,s)可逆222。 235。A1234。M234。T=234。A11233。1024110330249。A21+B221234。B11233。235。1234。O249。234。1235。1234。 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．233。 234。234。235。LAit]234。Cij=[Ai1233。234。n234。234。A11LA1t249。kAs1LkAsrMM234。n233。235。：Am180。234。n234。234。A11LA1r249。A12249。A21=233。235。1234。234。167。明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action234。234。234。234。234。=234。521249。44發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 233。234。=234。44加密：A234。233。action：1, 3, 20, 9, 15, 14 233。235。221234。A=234。26233。密碼問題：a174。1235。111234。11249。01234。=234。31=234。541249。216235。234。20233。X=A1CXB=C222。x=A1y(3)矩陣方程求解設(shè)Am180。0222。A22A3E=E222。235。110123233。n與Bn180。n都可逆222。A1可逆, 且(A1)1=A．對于A1, 取B=A, 有A1B=A1A=E．(2)A可逆, k185。0222。n, 若有Bn180。0充分性．已知detA185。n為可逆矩陣222。n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．證設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有AB=BA=E, AC=CA=EB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理2 An180。n．算律：(1)(A+B)=A+B(2)(kA)=kA(3)(AB)=AB(4)(A)=(A)=AH167。A1nA21A22MA2nLAn1249。an1a12a22Lan2La1n249。a21A=234。123例3 405106解：原式=58 例4 實數(shù)a，b滿足什么條件時ab0ba0=0 101ab0解：ba0=a2+b2a，b為實數(shù)，若要a2+b2=0，則a，b需同時等于零。于是二元方程組的解的公式又可寫為其中D≠0例1 計算51=52（1）3=13 32例2 設(shè)D=l2l31問：(1)當λ為何值時D=0(2)當λ為何值時D≠0 解：D=l2l31=l23l(1)當λ=0或3時，D=0(1)當λ≠0且λ≠3時，D≠0含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為（1）還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當時，有（2）這就是三元方程組的解的公式。在線性代數(shù)中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為（1）用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當時，有（2）這就是二元方程組的解的公式。《線性代數(shù)》，北京郵電大學出版社，2005年10月。A的各階順序主子式全為正，即a11La1na11a12M0a110，0，L，Ma21a22an1Lann講教材P184 例3四、習題P185 T1(1)(3)T2(3)T3T4T5T6 P186 總復習題： T4T5T6T7 ；T9T12T13第二篇：線性代數(shù)教案第一章線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學時）教學時數(shù)：12學時教學目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質(zhì)，行列式按行（列）展開定理，行列式的計算，克萊姆法則解方程組。f的標準形的n個系數(shù)全為正219。R(A)=R(B)，且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性定義1：設(shè)實二次型f(x)=f(x1,x2,L,xn)=xTAx，若對任意x185。即規(guī)范形中正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)rp都是唯一確定的。174。 慣性定理和二次型的正定性AL)190。（2）正交變換法定理：任給二次型f(x)=xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ=Q1AQ=L，其中L=diag(l1,l2,L,ln)，l1,l2,L,ln是A的全部特征值。四、習題P175 T1T3T4167。若C是正交矩陣，則稱線性變換x=Cy為正交變換。232。231。231。247。y2247。247。y1246。248。稱為線性變換的矩陣。c232。231。238。x=cy+cy+L+cy239。T則二次型f(x1,x2,K,xn)=xAx，其中A為對稱矩陣。247。247。x=，231。247。230。231。a11231。ni個（i=1,2,L,s）講教材P164 例1和例2四、習題P167 T1T2T4 P167 總復習題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；T8 T9 T10 T11T12 T13 T14 T15 T16第六章 特征值和特征向量矩陣的對角化 教學目標與要求，了解矩陣的合同關(guān)系，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標準型，掌握二次型正定的判別方法 教學重點 教學難點 167。其中L=diag(l1,l2,L,ln)，且l1,l2,...,ln是A的n個特征值。定理3：設(shè)l是n階實對稱矩陣A的r重特征值，則R(AlE)=nr，即對應特征值l恰有r個線性無關(guān)的特征向量。(2)對每個li，解齊次線性方程組(AliE)x=0，得基礎(chǔ)解系ai1,ai2,...,aini；(3)令P=(a11,a12,L,a1n1,a21,a22,L,a2n2,L,as1,as2,L,asns)，則PAP=L，其中L=diag(l1,L,l1,l2,L,l2,L,ls,L,ls)，這里li的個數(shù)為ni個（i=1,2,L,s）。A的每個k重特征值l對應有k個線性無關(guān)的特征向量（或R(AlE)=nk）。A有n個線性無關(guān)的特征向量。四、習題P157 T1T2T3T4167。A185。aii=1i=1nnii，其中229。N，則(1)l是方陣A的特征值；(2)f(l)=a0+a1l+L+aml是f(A)=a0E+a1A+L+amA的特征值。AlE=0219。四、習題P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5167。j238。即236。232。231。2/61/61/6247。247。=AT），則稱A為正交矩陣。br=arr1b1r2b2L[b1,b1][b2,b2][br1,br1]r1b1=a1； b2=a2講教材P147 例2和例3三、正交矩陣定義6：如果方陣A滿足AA=AA=E（即A230。若正交向量組中的每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標準正交向量組。x+y(4)柯西不等式：[x,y]163。向量的長度具有以下性質(zhì)：(1)非負