【正文】 與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。 克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有n個(gè)未知數(shù)x1,x2,L,xn與n個(gè)方程的線性方程組236。(1)LLLLLLLLLLLL239。如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D=A185。(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D185。它主要適用于理論推導(dǎo)。j=1,2,L,n)排成的m行n列的數(shù)表230。M231。247。n。248。aij=bij(i=1,2,L,m。247。247。b247。n，B=(bij)m180。n矩陣)：(1)交換律：A+B=B+A；(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)(3)負(fù)矩陣A+(A)=0，規(guī)定減法運(yùn)算：AB=A+(B)矩陣的數(shù)乘233。M234。；矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)A,B都是m180。n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)m180。j=1,2,L,n)k=1s記為Cm180。例1：求矩陣A=231。24246。與B=247。的乘積AB與BA。248。230。230。247。247。232。232。230。230。247。231。232。232。若AB=BA，則稱方陣A與B可交換。11246。10246。（2）A=231。247。；231。231。248。248。0)為m次多項(xiàng)式，A為n階方陣，則 稱f(A)為方陣A的多項(xiàng)式。231。0232。0L=231。0L0246。MM247。n0L對(duì)角矩陣0246。247。數(shù)量矩陣230。MM231。247。l247。a11247。a21或231。231。an1性質(zhì)：A=a11a22Lann轉(zhuǎn)置矩陣 230。M231。247。an2Lann247。m。A11231。231。247。A2nLAnn247。a11231。231。(i,j=1,2,L,n)238。A11A21LAn1246。247。a22La2n247。0AL0247。231。231。231。232。248。四、習(xí)題P69 T1T2T6T7T8(2)167。0；當(dāng)A可逆時(shí)，A=11* A，其中A*為A的伴隨矩陣。 AA=AA=AE；因?yàn)锳185?？梢?，可逆矩陣就是非奇異矩陣。0，從而A存在，于是1B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1二、逆矩陣的運(yùn)算律方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算律：①若n階方陣A可逆，則A也可逆，且(A)②若A可逆，數(shù)l185。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)1=ABB1A1=BB1AA1=B*A*230。cd247。248。*230。0時(shí)，A可逆； 247。231。adbc232。230。13247。231。247。25246。35246。230。248。411247。231。248。411247。231。247。n=231。A1O246。B=n180。232。B2248。248。A2248。248。O232。O232。；②AB=231。248。；④A=231。232。A232。1247。232。例將A=231?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。231。13246。13246。247。174。174。=B 247。247。247。24248。01248。231。230。230。231。231。231。248。248。n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣。O232。=Fm180。n定理3：對(duì)于n階可逆矩陣A，總存在有限個(gè)n階初等矩陣P1,L,Ps,Ps+1,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=En180。（等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性）因此，由定理3可知，方陣A可逆219。求逆矩陣的基本方法初等變換法：(A|E)190。174。190。190。初等列變換190。(1)EAAB初等列變換E)BA1167。min{按原來的位置構(gòu)成的一個(gè)k階行列式，稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。247。1200231。kk可知，m180。三、矩陣秩的性質(zhì)m,n} ① 1163。A的標(biāo)準(zhǔn)形F=231。R(A,B)163。R(A)+R(B)⑧ R(AB)163。n例設(shè)A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T230。O248。1,R(A)=n1239。0。nR(A)163。1，從而有R(A)=1。21113246。42232247。248。21113246。247。247。231。00454247。00231。248。00006248。2例已知矩陣A=231。12a3246。247。230。247。00112a2247。231。247。247。00063a0247。248。247。231。231。四、習(xí)題P96 T2T3(2)T7T8P97 總復(fù)習(xí)題：T1 T2T3T4T5第四章線性方程組理論教學(xué)目標(biāo)與要求，以及它們的判定方法，會(huì)求向量組的秩，會(huì)求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)167。R(A)=R(A,b)n③ 無解219。R(A)n推論：當(dāng)m=n時(shí)，An180。R(A)=R(A,B)二、線性方程組的解法236。x+8x=04238。230。247。247。231。0130247。0238247。248。248。230。247。0108/3247。0018/9247。248。239。8246。247。231。x2=x4，令x4=1，得通解為：231。(k206。231。231。248。9238。237。0,l185。當(dāng)l=0時(shí)，B=231。230。247。0021247。00231。248。248。R(B)，所以方程組無解。112當(dāng)l=1時(shí)，B=231。174。0210247。1123247。0004247。230。230。231。231。231。247。231。231。因R(A)=R(B)=23，所以方程組有無窮多解。x1=1k1=12x=0，令x239。3239。21247。167。a1246。a2247。其中ai稱為a的第iM231。232。230。231。M247。a247。b1246。b2247。231。一個(gè)線性方程組Am180。即a=a1e1+a2e2+L+anen。nx=0，寫成向量形式：x1a1+x2a2+L+xnan=0。注意：（特殊情形）① 只有一個(gè)向量a的向量組線性相關(guān)219。定理2：向量組a1,a2,L,am(m179。0。(2)若向量組a1,a2,L,ar線性相關(guān)，則向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)必線性相關(guān)；反之，若向量組a1,a2,L,ar,ar+1,L,an(nr)線性無關(guān)，則向量組a1,a2,L,ar必線性無關(guān)。n)得到的m個(gè)n1維向量也線性相關(guān)；反之，若m個(gè)n1維向量a1,a2,L,am線性無關(guān)，同時(shí)增加其第i個(gè)分量(1163。 向量組的秩一、向量組的等價(jià)定義1：設(shè)有向量組A:a1,a2,L,am；向量組B:b1,b2,L,bs，若向量組A中的每一個(gè)向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。定理1：設(shè)向量組A:a1,a2,L,am和向量組B:b1,b2,L,bs均為列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)=R(A,B)推論：向量組A:a1,a2,L,am和向量組B:b1,b2,L,bs等價(jià)的充要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)其中A和B是向量組A和向量組B所構(gòu)成的矩陣。定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。推論2：兩個(gè)等價(jià)的向量組的最大無關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量。：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。四、矩陣的秩的性質(zhì)性質(zhì)1：R(A+B)163。nx=0(1)性質(zhì)1：若x1,x2都是Ax=0的解，則x1+x2也是Ax=0的解。講教材P128 例1和例2二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對(duì)于非齊次線性方程組Am180。講教材P132 例3和例4三、習(xí)題P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復(fù)習(xí)題：T1 T2 T4 T5 T6至T13第五章 特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化教學(xué)目標(biāo)與要求，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì) ，掌握它們的性質(zhì)及其求法 ，掌握相似矩陣的性質(zhì)，熟悉實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 167。當(dāng)x=1時(shí)，稱x為單位向量。0時(shí)，稱q=arccoslx=lx(3)三角不等式：x+y163。定義5：若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。令[a2,b1]b；L；[b1,b1]1[a,b][a,b][ar,br1]b。sinq232。231。231。cosq248。247。A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。(i,j=1,2,L,n)（其中A=(a1,a2,L,an)）0,i185。定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y=Px稱為正交變換。(AlE)x=0 或者(lEA)x=0(AlE)x=0有非零解219。性質(zhì)2：設(shè)l是方陣A的特征值，k,m206。l=229。 0是A的特征值；A可逆219。講教材P154 例5和例6性質(zhì)4：l1,l2,L,lm是方陣A的互異特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量依次為p1,p2,L,pm，則向量組p1,p2,L,pm線性無關(guān)。定理2：n階方陣A可對(duì)角化219。定理3：n階方陣A可對(duì)角化219。ni=1i=n。定理2：實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。1T定理5：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP=PAP=L。(2)對(duì)每個(gè)li，解齊次線性方程組(AliE)x=0，得基礎(chǔ)解系ai1,ai2,...,aini；(3)利用施密特正交化方法將ai1,ai2,...,aini正交化，得正交向量組bi1,bi2,...,bini，再單位化得規(guī)范正交向量組gi1,gi2,...,gini（i=1,2,L,s）；(4)令P=(g11,g12,L,g1n1,g21,g22,L,g2n2,L,gs1,gs2,L,gsns)，則P為正交矩陣，且P1AP=PTAP=L，其中L=diag(l1,L,l1,l2,L,l2,L,ls,L,ls)，這里li的個(gè)數(shù)為。為了便于用矩陣討論二次型，令aij=aji，則二次型為：f(x1,x2,...,xn)=a11x12+a12x1x2+L+a1nx1xn+2 a21x2x1+a22x2+L+a2nx2xn+.................................................2 an1xnx1+an2xnx2+L+annxn=230。L231。anijxixjLa1n246。231。x2247。231。x247。n248。x1=c11y1+c12y2+L+c1nyn239。..........239。c11231。231。c22Lc2n247。2Ln247。230。231。231。y=231。247。x247。n248。0，則稱線性變換x=Cy為非退化的(或滿秩變換)；否則，稱為退化的(或降秩變換)。2．合同的性質(zhì)A① 反身性：對(duì)任意方陣A，都有A~B，則B~A② 對(duì)稱性：若A~C B,B~C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)對(duì)角陣L（L是以A的n個(gè)特征根為對(duì)角元的對(duì)角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC=L。步驟：若f中含變量項(xiàng)xi的平方項(xiàng)，則先將所有含xi的項(xiàng)合并在一起配成完全平方，依次類推直到都配成完全平方項(xiàng)；若f中不含任何平方項(xiàng)，則令x1=y1+y2,x2=y1y2，xk=yk，使f中出現(xiàn)平方項(xiàng)，再按照前面的思路進(jìn)行配方。即（三、習(xí)題P181T1T3T4167。190。慣性定理的等價(jià)表述：任意一個(gè)秩為r的實(shí)二次型f都可以經(jīng)過滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。A與B的規(guī)范形相同219。A的n個(gè)特征值全為正；219。A與單位矩陣合同； 219。本章主要閱讀文獻(xiàn)資料：，《線性代數(shù)》(第4版)，中國人民大學(xué)出版社，2008年2月。教學(xué)內(nèi)容：第一節(jié) 二階與三階行列式一．二階行列式引入新課：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項(xiàng)b1，可得到另一個(gè)行列式，用字母D2表示，于是有按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：a11b2b1a21，這就是公式（2）中x2的表達(dá)式的分子。三階行列式所表示的6項(xiàng)的代數(shù)和，也用對(duì)角線法則來記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素相乘取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素取負(fù)號(hào)，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來表示，即有同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項(xiàng)得到另外三個(gè)三階行列式，分別記為于是有就可以按照三階行列式的定義，它們都表示6項(xiàng)的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達(dá)式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。a11234。235。ALa2nML235。Mn的共軛矩陣記作A=(aij)m180。n滿足AB=BA=E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A1=B．定理1 若An180。0；An180。detA185。0時(shí), 亦稱A為非奇異矩陣；detA=0時(shí), 亦稱A為奇異矩陣．推論1 對(duì)于An180。detA185。n滿足BA=E, 則A可逆, 且A1=B．算律：(1)A可逆222。n與Bn180。detA1=1． detA(6)An180。310249。, A1=1A*=1234。234。n滿足A22A4E=O, 求(A+E)1． 解A22A4E=O222。nx=b, detA185。0222。n已知, 則AX=C222。21249。, C=234。234。235。233。233。20234。5234。235。351 滿足A*X=A1+2X, 求X．例4 設(shè)A=234。1110249。4234。3, ? ,z174。011249。 , A1=234。234。67249。81249。=234。234。152043234。234。=234。233。234。1A=234。0233。0234。235。010003B2B3B4]用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個(gè)小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．特點(diǎn)：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．233。MMB=M, m180。As1LAsr234。 234。 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．：kAm180。=234。235。l233。MMB=M, l180。As1LAstBtjC11LC1r249。M234。0234。10420249。B11100233。10234。A21B11+B21233。1=235。 3nT233。As1LAsr 特點(diǎn)：“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”：設(shè)A1,A2,L,As都是方陣, 記233。234。A2性質(zhì)：(1)detA=(detA1)(detA2)L(detAs)(2)A可逆219。=234。235。 233。O235。021OO249。233。 =111234。233。n都可逆, Cn180。CBX1M1=234。X1234。239。238。 AX=O239。238。11區(qū)分行 取消運(yùn)行顯示 % 注釋標(biāo)記: 具有多種應(yīng)用功能(區(qū)分大小寫): 預(yù)定義變量: anspi 相關(guān)命令: format(顯示格式 rat long short)who whos clear 文件（純文本文件，）建立 修改 保存 運(yùn)行二、Matlab 與線性代數(shù)的基本運(yùn)算數(shù)字矩陣：A=[1 2 3。b c a]’)(2).syms a b cA=[a b c。Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣，R(A)=r法1：U=rref(A), 選定自由變量，得到一組基礎(chǔ)解系法2：z=null(A)% z的列向量為Ax=0的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。）236。123