【正文】 [注解 ]。 向量的線性表示 對(duì)非齊線性方程組 bxxx nn ???? ??? ?2211 ， （ 1）存在一組常數(shù) nkkk , 21 ? ，使得 bkkk nn ???? ??? ?2211 成立，即非齊線性方程組有解，稱 ? 可由 n??? , 21 ? 線性表示； （ 2）若 bxxx nn ???? ??? ?2211 不能成立，即非齊線性方程組無(wú)解，稱 ? 不可由n??? , 21 ? 線性表示。 （ 5）當(dāng) 0),( ??? ，即 01 ???ni iiba時(shí)，稱向量 ? 與 ? 正交，記為 ??? ，注意零向量與任何向量正交。 向量的內(nèi)積： ????ni iiT ba1),( ????。 設(shè) A 是 n 可逆矩，證明： A 的逆矩陣唯一。 ??, 是 3維列向量， TTA ???? ?? ，證明： 2)( ?Ar 。 設(shè) A 是 nm? 矩陣，且 OAAT ? ，證明： OA? 。 設(shè) A 為正交矩陣，證明： （ 1） 1|| ??A ；（ 2） 若 1|| ??A ，則 0|| ??AE 設(shè) ,133312321131131211232221333231232221131211?????????????????????????aaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA ??????????????????????101010001,10000101021 PP，則 （ ） BPAPA ?21)( BPAPB ?12)( BAPPC ?21)( BAPPD ?12)( 30 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， A 對(duì)調(diào) i 行與 j 行得矩陣 B 。 例題部分 設(shè) A 為 n 階矩陣，且 OAk ? ，求 1)( ??AE 。 4） 1|||| ?? ? nAA 。 2） |||| AAT ? 。 4） TTT ABAB ?)( 。 2） TT kAkA ?)( （其中 k 為常數(shù)）。 （ 4） ??1)(Ar 存在非零向量 ??, ，使得 TA ??? 。 2）若 OA? ，則 1)( ?Ar 。 （ 4）設(shè) snnm BA ?? , ，且 0?AB ，則 nBrAr ?? )()( ； （ 5）設(shè) QP, 為可逆矩陣，則 )()()()( PAQrAQrPArAr ??? ； 29 （ 6） )2(1)(,01)(,1)(,)( ????????????? nnArnArnArnAr 。 （四）矩陣秩的性質(zhì) （ 1） )()()()( AArAArArAr TTT ??? 。 （二）矩陣秩的定義 設(shè) A 是 nm? 矩陣， A 中任取 r 行和 r 列且元素按原有次序所成的 r 階行列 式，稱為 A的 r 階子式，若 A 中至少有一個(gè) r 階子式不等于零，而所有 1?r 階子式（如果有）皆為零，稱 r 為矩陣 A 的秩，記為 rAr ?)( 。 （ 4） TT AA )()( 11 ?? ? 。（ 2） 11 1)( ?? ? AkkA 。 定理 2設(shè) A 是 n 階不可逆矩陣，則存在 n 階可逆矩陣 P 和 Q ，使得 ????????? OO OEPAQ r。 性質(zhì)： 1） AkEij )( 即 A 第 j 行的 k 倍 加到第 i 行， )(kAEij 即 A 第 i 列的 k 倍加到第 j 列； 2） 1|)(| ?kEij ； 3） )()(1 kEkE ijij ??? 。 性質(zhì)： 1） ccEi ?|)(| ； 2） )1()(1 cEcEii ??； 3） AcEi )( 即為矩陣 A 的第 i 行非零常數(shù) c ， )(cAEi 即為矩陣 A 的第 i 列非零常數(shù) c ，即 AcEi )( 為對(duì) A 進(jìn)行第二種初等行變換， )(cAEi 為對(duì) A 進(jìn)行第二種初等列變換。 性質(zhì)： 1） 1|| ??ijE ； 1） ijij EE ??1 ； 3） AEij 即為矩陣 A 的第 i 行與第 j 行對(duì)調(diào)， ijAE 即為矩陣 A 的第 i 列與第 j 列對(duì)調(diào)，即 AEij 是對(duì) A 進(jìn)行第一種初等行變換， ijAE 是對(duì) A 進(jìn)行第一種初等列變換。 若對(duì)矩陣的列進(jìn)行以上三種變換，稱為矩陣的初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。 （六）初等 變換法求逆陣的思想體系 第一步，方程組的三種同解變形 （ 1）對(duì)調(diào)兩個(gè)方程； （ 2）某個(gè)方程兩邊同乘以非零常數(shù)； （ 3）某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程， 以上三種變形稱為方程組的三種同解變形。 （五）逆陣的求法 （ 1）方法一：伴隨矩陣法 ??? AAA ||11。 （二）逆矩陣的定義 設(shè) A 為 n 階矩陣，若存在 B ，使得 EBA? ，稱 A 可逆， B 稱為 A 的逆矩陣，記為1??AB 。 （ 3）當(dāng) 0,0 ?? ba 時(shí)，方程 bax? 無(wú)解。 記 , 2121212222111211?????????????????????????????????????????????mnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA ?????????則方程組（ I ）、（ II ）可改 寫(xiě)為 形式二：方程組的矩陣形式 0?AX ， （ I ） bAX? ， （ II ） 令???????????????????????????????????????????????????????mnmnnnmm bbbxxXaaaaaa??????11121221111 , ???，則有 形式三：方程組的向量形式 Oxxx nn ???? ??? ?2211 （ I ） Oxxx nn ???? ??? ?2211 （ II ） 二、矩陣的逆陣 （一）逆陣問(wèn)題的產(chǎn)生 26 對(duì)一元一次方程 )0( ?? abax ，其解有如下幾種情況： （ 1）當(dāng) 0?a 時(shí)， bax? 兩邊乘以 a1 得 abx? 。 若 BAAB? ，則 )2)((23 22 BABABABA ????? ，再如 )2)(3(62 EAEAEAA ????? 。 （ 2） BAAB? 。,2,1 ?? ?? ）。 （ 2）矩陣乘法 1）數(shù)與矩陣的乘法 — 設(shè)???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，則???????????????mnmmnnkakakakakakakakakakA???????212222111211。 伴隨矩陣 — 設(shè) nnijaA ?? )( 為 n 矩陣，將矩陣 A 中的第 i 行和 j 列去掉，余下的元素按照原來(lái)的元素排列次序構(gòu)成的 1?n 階行列式，稱為元素 ija 的余子式，記為 ijM ，同時(shí)稱 ijjiij MA ??? )1( 為元素 ija 的代數(shù)余子式，這樣矩陣中的每一個(gè)元素都有自己的代數(shù)余子式，記????????????????nnnnnnAAAAAAAAAA???????212221212111，稱為矩陣 A 的伴隨矩陣。 對(duì)稱矩陣 — 設(shè) nnijaA ?? )( ，若 ),2,1,( njiaa jiij ??? ，稱 A 為對(duì)稱矩陣。 （ 3）稱???????????11?E 為單位矩陣。 （ 1）若矩陣中所有元素都為零，該矩陣稱為零矩陣，記為 O。 計(jì)算nnaaaaD?????1111111111111111321?????????，其中 )1(0 niai ??? 。 23 例題部分 計(jì)算行列式2164729541732152??????D （答案： 9? ） 設(shè)2164729541732152??????D ，求（ 1） 24232221 MMMM ??? ；（ 2） 3231 MM ? 。 令nnnnnnnnnnnnnnnnbaabaabaaDaabaabaabDaaaaaaaaaD??????????????????????2122221112112222211211212222111211, ??? ，其中 D 稱為系數(shù)行列式，我們有 定理 1 )(I 只有零解的充分必要條件是 0?D ； )(I 有非零解（或者 )(I 有無(wú)窮多個(gè)解）的充分必要條件是 0?D 。 行列式的某行（或列）元素與另一行（或列）元素的代數(shù)余子式之積的和為零。 行列式的某行（或列）的倍數(shù)加到另一行（或列），行列式不變，即 22 nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa????????????????????????????????212122111121121212111211????，其中 k 為任意常數(shù)。 （ 3）行列式某兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式為零。 推論：（ 1）行列式某行（或列）元素全為零，則該行列式為零。 對(duì)調(diào)兩行（或列）行列式改變符號(hào)。 范得蒙行 列式 — 形如 112112121111),(????nnnnnnaaaaaaaaaV???????? 稱為 n 階范得蒙行列式，且 ?????????nijjinnnnnn aaaaaaaaaaaV?????????1112112121 )(111),( 。 二、幾個(gè)特殊的高階行列式 對(duì)角行列式 — 形如naaa???????00000021，稱為對(duì)角行列式，對(duì)角行列式等于其對(duì)角線 21 上元素之積。 定義 3 行列式 — 由 2n 個(gè)數(shù)組成的下列記號(hào)nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211? 稱為 n 階行列式，規(guī)定 nn n njjjjjj jjj aaaD ?? ? 2121 21 21)()1(? ?? ?。 線性代數(shù)部分 第一講 行列式 一、基本概念 定義 1 逆序 — 設(shè) ji, 是一對(duì)不等的正整數(shù)，若 ji? ，則稱 ),( ji 為一對(duì)逆 序。 題型三：泰勒公式在極限中的應(yīng)用 【例題】求極限30 sinlim x xxx ??。 )()1(11 1 nnn xoxxx ??????? ?。 )()!2( )1(!21c o s 222 nnn xoxnxx ?????? ?。 【注解 】常見(jiàn)函數(shù)的馬克勞林公式 )(!1 nnx xonxxe ????? ? 。 定理 4（泰勒中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf 在 0xx? 的鄰域內(nèi)有直到 1?n 階導(dǎo)數(shù)，則有 )()(! )()(!2 )()()()