【正文】 行列式 — 形如naaa???????00000021，稱為對(duì)角行列式，對(duì)角行列式等于其對(duì)角線 21 上元素之積。 （ 3）行列式某兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式為零。 23 例題部分 計(jì)算行列式2164729541732152??????D （答案： 9? ） 設(shè)2164729541732152??????D ，求（ 1） 24232221 MMMM ??? ；（ 2） 3231 MM ? 。 對(duì)稱矩陣 — 設(shè) nnijaA ?? )( ，若 ),2,1,( njiaa jiij ??? ，稱 A 為對(duì)稱矩陣。 （ 2） BAAB? 。 （二）逆矩陣的定義 設(shè) A 為 n 階矩陣，若存在 B ，使得 EBA? ，稱 A 可逆， B 稱為 A 的逆矩陣，記為1??AB 。 性質(zhì)： 1） 1|| ??ijE ； 1） ijij EE ??1 ； 3） AEij 即為矩陣 A 的第 i 行與第 j 行對(duì)調(diào)， ijAE 即為矩陣 A 的第 i 列與第 j 列對(duì)調(diào)，即 AEij 是對(duì) A 進(jìn)行第一種初等行變換， ijAE 是對(duì) A 進(jìn)行第一種初等列變換。（ 2） 11 1)( ?? ? AkkA 。 （ 4）設(shè) snnm BA ?? , ，且 0?AB ，則 nBrAr ?? )()( ； （ 5）設(shè) QP, 為可逆矩陣，則 )()()()( PAQrAQrPArAr ??? ； 29 （ 6） )2(1)(,01)(,1)(,)( ????????????? nnArnArnArnAr 。 4） TTT ABAB ?)( 。 設(shè) A 為正交矩陣，證明： （ 1） 1|| ??A ；（ 2） 若 1|| ??A ，則 0|| ??AE 設(shè) ,133312321131131211232221333231232221131211?????????????????????????aaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA ??????????????????????101010001,10000101021 PP，則 （ ） BPAPA ?21)( BPAPB ?12)( BAPPC ?21)( BAPPD ?12)( 30 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， A 對(duì)調(diào) i 行與 j 行得矩陣 B 。 向量的內(nèi)積： ????ni iiT ba1),( ????。 [注解 ]。 設(shè) A 是 n 可逆矩，證明： A 的逆矩陣唯一。 例題部分 設(shè) A 為 n 階矩陣，且 OAk ? ，求 1)( ??AE 。 2） TT kAkA ?)( （其中 k 為常數(shù)）。 （四）矩陣秩的性質(zhì) （ 1） )()()()( AArAArArAr TTT ??? 。 定理 2設(shè) A 是 n 階不可逆矩陣，則存在 n 階可逆矩陣 P 和 Q ，使得 ????????? OO OEPAQ r。 若對(duì)矩陣的列進(jìn)行以上三種變換，稱為矩陣的初等列變換，矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。 （ 3）當(dāng) 0,0 ?? ba 時(shí)，方程 bax? 無(wú)解。,2,1 ?? ?? ）。 （ 3）稱???????????11?E 為單位矩陣。 令nnnnnnnnnnnnnnnnbaabaabaaDaabaabaabDaaaaaaaaaD??????????????????????2122221112112222211211212222111211, ??? ，其中 D 稱為系數(shù)行列式，我們有 定理 1 )(I 只有零解的充分必要條件是 0?D ； )(I 有非零解（或者 )(I 有無(wú)窮多個(gè)解）的充分必要條件是 0?D 。 推論：（ 1）行列式某行（或列）元素全為零，則該行列式為零。 定義 3 行列式 — 由 2n 個(gè)數(shù)組成的下列記號(hào)nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211? 稱為 n 階行列式，規(guī)定 nn n njjjjjj jjj aaaD ?? ? 2121 21 21)()1(? ?? ?。 )()!2( )1(!21c o s 222 nnn xoxnxx ?????? ?。 【例題 2】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，在 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)1( ?f ，證明：存在 )1,0(?? ，使得 0)(2)( ??? ??? ff 。 【結(jié)論 2】設(shè)可導(dǎo)函數(shù) )(xf 在 ax? 處取極值，則 0)( ??af 。若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0xx? 為 )(xf 的極大點(diǎn)；若存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 0xx 時(shí)，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0xx? 為 )(xf 的極小點(diǎn)，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。 三、求導(dǎo)基本類型 （一）顯函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】設(shè) )s e c2ln ( ta n 21s in 2 xxey x ??? ，求 y? ； 【例題 2】設(shè) xxy sin? ，求 y? ； （二）參數(shù)方程確 定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) )(xfy? 由??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導(dǎo)，求 dxdy 及22dxyd 。 （ 1）211)(arc s in xx ??? ； （ 2）211)( a r c c os xx ???? ； （ 3）21 1)(arc tan xx ???； （ 4）21 1)c o t( xxarc ????。 【注解】 15 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與函數(shù)在一點(diǎn)可微等價(jià)。 14 【例題 2】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對(duì)任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 記憶： })11{( nn? 單調(diào)增加收斂于 e 。 情形一：設(shè) }{na 單 調(diào)增加，且存在 M ，使得 Man? ，則nn a??lim存在。 （ 2）設(shè) )( xf 在 ax? 處間斷，且 )0(),0( ?? afaf 至少一個(gè)不存在，稱 ax? 為 )(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 【例題 6】計(jì)算極限3tan0lim xee xxx??。 【注解】 （ 1）無(wú)窮小一般性質(zhì) 1）有限個(gè)無(wú)窮小之和、差、積為無(wú)窮小。 （ 2）函數(shù) )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限（ ??? ） — 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱 A 為 )(xf 當(dāng) ax? 時(shí)的極限，記為 Axfax ?? )(lim。 【例題 3】計(jì)算 ?? ?11 24 1 dxxx。 （ 2）周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()(，其中 a 為任意常數(shù)。 （ 5）設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf。 【例題 2】設(shè) )(xf 為連續(xù)函數(shù)，且 ? ?? x dttxtfxF0 22 )()(，求 )(xF? 。 【注解】 （ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無(wú)關(guān) 。 （ 3） )}(),(m in{)( BrArABr ? ，等價(jià)于??? ?? )()( )()( BrABr ArABr。矩陣可逆、滿秩及非奇異等價(jià)。 性質(zhì)： 1） 0|)(| ?? ccEi ； 2） )1()(1 cEcEii ??； 3） AcEi )( 為將 A 的 i 行乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣， )(cAEi 為將 A 的 i 列乘以非零 5 常數(shù) c 所得到的矩陣。 （ 2）第二、三兩種情形產(chǎn)生矩陣的另一個(gè)核心問(wèn)題 — 矩陣的秩。 3 令 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????nxxxX ?21，???????????????mbbbb ?21，則（ 1）、（ 2）可分別表示為矩陣形式： OAX? （ 1） 及 bAX? （ 2） 對(duì)方程組（ 1）： 【例題 1】討論方程組??? ???? 02 02121 xx xx 解的情況，并分析原因。 （ 2）數(shù)與矩陣之積： 2 ???????????????mnmmnnkakakakakakakakakakA???????212222111211。大家有選擇性的看，都是個(gè)人覺(jué)得非常好的。 1 考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班輔導(dǎo)講義 線性代數(shù)部分 — 矩陣?yán)碚? 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。 我想，每一次都推薦一下對(duì)大家都非常有用的信息，只推薦三個(gè)有用的，其他的我覺(jué)得都沒(méi)什么意思，每一次推薦都不容易，希望大家珍惜。 矩陣運(yùn)算 （ 1）矩陣加、減法： ??????????????????????????????mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA???????221122222221211112121111。 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ 2） 稱（ 2）為非齊線性方程組。 4 【注解】 （ 1）第一種解的情況產(chǎn)生矩陣的第一個(gè)核心問(wèn)題 — 矩陣的逆陣。 （ 2） )0)(( ?ccEi — 單位矩陣的 i 行乘以 c 或單位矩陣的 i 列乘以 c 。 （ 2）設(shè) A 為 n 階矩陣，若 0|| ?A ，則 nAr ?)( ，稱 A 為滿秩矩陣。 （ 2）設(shè) BA, 為同型矩陣，則 )()()( BrArBAr ??? 。 高等數(shù)學(xué)部分 定積分理論 一、定積分的產(chǎn)生背景 曲邊梯形的面積問(wèn)題 變速運(yùn)動(dòng)路程問(wèn)題 7 二、定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)，若ini i xf ???? )(lim 10 ??存在，稱 )(xf 在],[ ba 上可積，極限稱為 )(xf 在 ],[ ba 上的定積分，記 ?ba dxxf )( ，即?ba dxxf )( ini i xf ?? ??? )(lim10 ?? 。 【例題 1】設(shè) )(xf 連續(xù)，且 ? ?? x dttftxx0 )()()(?，求 )(x??