【文章內容簡介】 ，即位于最小值和最大值之間的任何值函數都可以取到。 （ 2）設 ],[)( baCxf ? ，且 )()( bfaf ? ，不妨設 )()( bfaf ? ，則對任意的)](),([ bfaf?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于左右端點函數值之間的任何值函數都能取到。 【方法指導】 設 ],[)( baCxf ? ，若結論中存在 )(?f ，基本確定使用零點定理或介值定理，一般開區(qū)間用零點定理，閉區(qū)間用介值定理。 【例題 1】設 ]1,0[)( Cxf ? ， 1)1(,0)0( ?? ff ，證明：存在 )1,0(?c ，使得 ccf ??1)( 。 14 【例題 2】設 ],[)( baCxf ? ，證明：對任意的 0,0 ?? qp ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( ?fqpbqfapf ??? 。 【例題 3】設 ],[)( baCxf ? ，證明：對任意的 ],[ baxi ? 及 ),2,1(0 niki ??? 且11 ??? nkk ? ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()( 11 nn xfkxfkf ??? ?? 第二講 一元函數微分學基本理論 一、基本概念 導數 — 設 )(xfy? 為定義于 D 上的函數， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若極限 xyx ???? 0lim存在，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可導為 )(xfy? 在 0xx? 處的導數，記為 )( 0xf?或0| xxdxdy? 。 【注解】 （ 1） 0??x 同時包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的左導數，記為 )( 0xf?? ，若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的右導數，記為 )( 0xf?? ， )(xfy? 在點 0xx?處可導的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 （ 2）函數 )(xfy? 在 0xx? 處導數的等價定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 （ 3）若 )(xfy? 在 0xx? 處可導，則 )(xfy? 在 0xx? 處連續(xù)，反之不對。 （ 4） 取絕對值可保持連續(xù)性，不一定保持可導性。 可微 — 設 )(xfy? 為定義于 D 上的函數， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若)( xoxAy ????? ，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可微，記 xAdy ?? ，或者 Adxdy? 。 【注解】 15 （ 1）函數在一點可導與函數在一點可微等價。 （ 2） )( 0xfA ?? 。 （ 3）若函數 )(xf 處處可導，則其微分為 dxxfxdf )()( ?? 。 二、求導數三大工具 （一）基本公式 0)( ??C 。 1)( ??? aa axx ，特別地????????????xxxx21)(1)1(2 。 aaa xx ln)( ?? ，特別地 xx ee ??)( 。 axxa ln1)(log ??，特別地 xx 1)(ln ?? 。 （ 1） xx cos)(sin ?? ； （ 2） xx sin)(cos ??? ； （ 3） xx 2sec)(tan ?? ； （ 4） xx 2cs c)(co t ??? ； （ 5） xxx tans ec)(s ec ?? ； （ 6） xxx c otc s c)( c s c ??? ； （ 7） )2s in ()( s in )( ?nxx n ?? ； （ 8） )2c o s ()( c o s )( ?nxx n ?? 。 （ 1）211)(arc s in xx ??? ； （ 2）211)( a r c c os xx ???? ； （ 3）21 1)(arc tan xx ???； （ 4）21 1)c o t( xxarc ????。 （二）求導四則運 算法則 vuvu ?????? )( 。 vuvuuv ?????)( 。 ukku ???)( 。 2)( v vuvuvu ?????； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 （三）復合函數求導鏈式運算法則 設 )(ufy? ， )(xu ?? 都是可導函數，則 )]([ xfy ?? 可導，且 )()]([)()( xxfxufdxdududydxdy ??? ?????????? 。 【注解】 （ 1）原函數與其反函數一階導數與二階導數之間的關系 16 設 )(xfy? 為二階可導函數，且 0)( ?? xf ， )(yx ?? 為 )(xfy? 的反函數，則 )(11)(xfdxdyydydx ????? ? ，即原函數與其反函數導數之間為倒數關系， )()(//])(1[])(1[)]([)( 322 xf xfdxdydxxfddyxfddyydydyxd?????????????? ?? 。 （ 2）設 )(xf 在 ax? 處連續(xù)，若 Aax xfax ??? )(lim，則??? ?? ? Aaf af )( 0)(。 三、求導基本類型 （一）顯函數求導數 【例題 1】設 )s e c2ln ( ta n 21s in 2 xxey x ??? ，求 y? ； 【例題 2】設 xxy sin? ，求 y? ； （二）參數方程確 定的函數的導數 設 )(xfy? 由??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導，求 dxdy 及22dxyd 。 【例題 1】 設??? ? ?? ty tx arctan)1ln(，求 dxdy 及22dxyd 。 （三）隱函數求導數 【例題 1】 設 xxye yx 23 ??? ，求 dxdy 。 （四）分段函數求導數 【例題 1】設??? ?? ?? 0),1ln( 0,s in)( xxxxxf，求 )(xf? 并討論 )(xf? 的連續(xù)性。 【例題 2】設??? ?? ??? 0, 0),1ln()( xbax xxxf，且 )0(f? 存在，求 ba, 。 （五）高階導數 【例題 1】 xexf x sin)( ? ，求 )()( xf n 。 【例題 2】設 231)(2 ??? xxxf，求 )()( xf n 。 17 第三講 中值定理及應用 一、預備知識 極值點與極值 — 設連續(xù) ))(( Dxxfy ?? ，其中 Dx?0 。若存在 0?? ，當???? ||0 0xx 時，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0xx? 為 )(xf 的極大點；若存在 0?? ，當???? ||0 0xx 時，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0xx? 為 )(xf 的極小點，極大點和極小點稱為極值點。 函數在一點處導數情況討論 （ 1）設 0)( ??af ，即 0)()(lim ???? ax afxfax，由極限的保號性，存在 0?? ，當???? ||0 ax 時，有 0)()( ???ax afxf 。 當 ),( aax ??? 時， )()( afxf ? ；當 ),( ??? aax 時， )()( afxf ? 。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點。 （ 2）設 0)( ??af ，即 0)()(lim ???? ax afxfax，由極限的保號性，存在 0?? ，當???? ||0 ax 時，有 0)()( ??? ax afxf 。 當 ),( aax ??? 時， )()( afxf ? ；當 ),( ??? aax 時， )()( afxf ? 。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點。 【結論 1】設連續(xù)函數 )(xf 在 ax? 處取極值，則 0)( ??af 或 )(af? 不存在。 【結論 2】設可導函數 )(xf 在 ax? 處取極值，則 0)( ??af 。 二、一階中值定理 定理 1（羅爾中值定理）設函數 )(xf 滿足：（ 1） ],[)( baCxf ? ；（ 2） )(xf 在 ),( ba 內可導；（ 3） )()( bfaf ? ，則存在 ),( ba?? ，使得 0)( ???f 。 定理 2（ Lagrange 中值定理）設 )(xf 滿足：（ 1） ],[)( baCxf ? ；（ 2） )(xf 在 ),( ba 內可導，則存在 ),( ba?? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 。 18 【注解】 （ 1）中值定理的等價形式為： ))(()()( abfafbf ???? ?，其中 ),(a?? ； )) ] (([)()( ababafafbf ?????? ?，其中 10 ??? 。 （ 2） ? 對端點 ba, 有依賴性。 （ 3）端點 ba, 可以是變量，如 ))(()()( axfafxf ???? ?，其中 ? 是介于 a 與 x 之間的x 的函數。 定理 3（ Cauchy中值定理）設 )(),( xgxf 滿足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf ? ；（ 2） )(),( xgxf在 ),( ba 內可導；（ 3） ),(,0)( baxxg ??? ，則存在 ),( ba?? ，使得 )( )()()( )()( ??gfagbg afbf ?????。 典型題型 題型一：結論中含一個中值 ? ，不含 ba, ，且導出之間差距為一階 【例題 1】設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內可導， 0)()( ?? bfaf ，證明：存在 ),( ba?? ，使得 0)()( ??? ?? ff 。 【例題 2】設 ]1,0[)( Cxf ? ，在 )1,0( 內可導，且 0)1( ?f ，證明：存在 )1,0(?? ，使得 0)(2)( ??? ??? ff 。 題型二：關于微分中值定理的慣性思維題 【注解】對可導函數來說，若所研究問題中涉及三個或三個以上點時，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定理 【例題 1】設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內可導， )()( bfaf ? ，且 )(xf 在 ),( ba 內不為常數，證明：存在 ),(, ba??? ，使得 0)(,0)( ???? ?? ff 。 【例題 2】設 ],[)( baCxf ? ， )(xf 在 ],[ ba 上二階可導， Mxf ??? |)(| ，且 )(xf 的最小點在 ),( ba 內，證明： )(|)(||)(| abMbfaf ????? 。 19 三、高階中值定理 — 泰勒中值定理 背景：求極限30 sinlim x xxx ??。 定理 4（泰勒中值定理）設函數 )(xf 在 0xx? 的鄰域內有直到 1?n 階導數，則有 )()(! )()(!2 )()()()( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn ??????????? ?， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1( ???? ?，其中 ? 介于 0x 與 x 之間，稱此種形式的余項為拉格郎日型余項，若 ])[()( 0 nn xxoxR ?? ，稱此種形式的余項為皮亞諾型余項。 特別地，若 00?x ，則稱 )(! )0()(!2 )0()0()0()( )(20 xRxnfxxfffxf nnn ?????????? ?， 為馬克勞林公式，其中 )10()!1( )()( 1)1( ???? ?? ?? nnn xn xfxR。 【注解 】常見函數的馬克勞林公式 )(!1 nnx xonxxe ????? ? 。 )()!12( )1(!3s in 12123 ?? ??????? nnn xoxnxxx ?。 )()!2( )1(!21c o s 222 nnn xoxnxx ?????? ?。 )(11 1 nn xoxxx ?????? ?。 )()1(11 1 nnn xoxxx ??????? ?。 )()1(2)1ln ( 12 nnn xoxnxxx ??????? ??。 題型三：泰勒公式在極限