【文章內(nèi)容簡介】 該極大線性無關(guān)組線性表示 . 解 構(gòu)造矩陣 1 2 3 41 7 2 53 0 1 1( , , , )2 1 4 0 60 3 1 2A ? ? ? ???????? ????,并利用行初等變換 求 其 簡 化 階 梯 形 矩 陣 ： 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 13 1 7 2 5 1 7 2 5 1 7 0 3 1 1 0 13 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 2 3 0 0 22 1 4 0 6 0 0 4 4 0 0 1 1 0 0 1 10 3 1 2 0 3 1 2 0 3 0 1 0 3 0 11 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 2 / 30 3 0 1 0 3 0 1 0 1 0 1 / 30 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 10 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 0????????????因此 ,該向量組的秩為 3, 1 2 3,? ? ? 構(gòu)成一個極大線性無關(guān)組 ,且4 1 2 32133? ? ? ?? ? ?. 例 20(20xx) 設(shè) n 維列向量 12, , , ( )m mn? ? ? ?線性無關(guān) ,則 n 維列向量12, , , m? ? ? 線性無關(guān)的充分必要條件是 12, , , m? ? ? 可由向量組 12, , , m? ? ? 線性表示 。 12, , , m? ? ? 可由 向量組 12, , , m? ? ? 線性表示 。 12, , , m? ? ? 與向量組 12, , , m? ? ? 等價 。 12( , , , )mA ? ? ?? 與矩陣 12( , , , )mB ? ? ?? 等價 . 解 B 最錯 :此時向量組 12, , , m? ? ? 的特征完全沒有體現(xiàn) 。A 也錯 ,因?yàn)榇藭r向量組 12, , , m? ? ? 當(dāng)然線性無關(guān) ,故是充分條件 ,但不必要 。C 也是充分條件 ,不必要 .故選 D. 例 21(20xx) 設(shè)向量組 I: 12, , , r? ? ? 可由向量組 II: 12, , , s? ? ? 線性表示 。則 rs 時 ,向量組 II 必線性相關(guān) 。 rs 時 ,向量組 II 必線性相關(guān) 。 rs 時 ,向量組 I 必線性相關(guān) 。 rs 時 ,向量組 I 必線性相關(guān) . 解 由于只知道 I 能由 II 線性表示 ,故只能討論 I 的線性相關(guān)性 , 對 II 則一無 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 14 所知 (它可能線性相關(guān) ,也可 能線性無關(guān) ).所以 A,B 錯 .只與 C,D 就較為明顯了 :向量越多則越容易線性相關(guān) .當(dāng) rs 時 ,I 中的向量個數(shù)多于 II,只能線性相關(guān) . 例 22(20xx) 設(shè) A， B為滿足 AB=0 的任意兩個非 0矩陣，則必有 的列向量組線性相關(guān) ,B的行向量組線性相關(guān) 的列向量組線性相關(guān) ,B的列向量組線性相關(guān) 的行向量組線性相關(guān) ,B的行向量組線性相關(guān) 的行向量組線性相關(guān) ,B的列向量組線性相關(guān) 分析 (20xx12) 這實(shí)際上是考察我們對矩陣乘法的理解 :” 左行右列 ” 原則說 AB 的列是 A的列的線性組合 ,而其 行是 B 的行的線性組合 ,現(xiàn)在 AB=0,故 A的列的線性組合為 0,B的行的線性組合為 0,從而 A的列線性相關(guān) ,B的行線性相關(guān) ,選 A. [這是概念性很強(qiáng)的線性代數(shù)題 ,50％的考生早在上線性代數(shù)課的時候就暈過無數(shù)次 ,現(xiàn)在又要再暈一次了 (我們將在線性代數(shù)的復(fù)習(xí)中幫助大家蘇醒過來 ).但現(xiàn)在我們是在做選擇題 !選最簡單的矩陣 (當(dāng)然 1 1的不行 為什么 ???故 1 2的最簡單 )如下 : ? ? 01 0 , 1AB ???? ????.如此 ,A 的行線性無關(guān) ,C,D 錯 。B 的列線性無關(guān) ,B,D 錯 !] 例 23(1997) 設(shè) 1 1 1221 2 2 2 3 23 3 3, , , 0 , 1 , 2 , a b ca b c a b ia b c? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?則 三條直線 ( 1 , 2 , 3 )i i ia x b y c i? ? ?交于一點(diǎn)的充分必要條件是 A. 1 2 3,? ? ? 線性相關(guān) 。 B. 1 2 3,? ? ? 線性無關(guān) 。 ( 1 2 3,? ? ? )=秩 ( 12,?? )。 D. 1 2 3,? ? ? 線性相關(guān) 。 12,?? 線性無關(guān) . 解 實(shí)際上是解線性方程組 :交于一點(diǎn)等價于有唯一解 ,等價于系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩等于 D.(試試用特殊值法 ) 例 24(1998) 設(shè) A是 n 階矩陣 ,若存在正整數(shù) k 使得線性方程組 Akx=0 有解向 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 15 量 ?,且 Ak1?? :向量組 ?,A?,… ,Ak1?是線性無關(guān)的 . 證明 設(shè) ?0?+?1A?+… +?k1 Ak1?=0, 我們證明所有的系數(shù)只能等于 , 兩邊同乘以 Ak1,可得 ?0 Ak1?+?1Ak1A?+… +?k1 Ak1Ak1?=0, ?是 Akx=0 的解 ,所以 Ak?=0,因此 ?0 Ak1?=0。但 Ak1??0,只有 ?0=0. 再乘以 Ak2,可得 ?1Ak2A?+… +?k1Ak2Ak1? =0, 即 ?1Ak2A?=0,因此 ?1= ,可以證明 ?2=?3=… =?k1=0. 例 25(1996) 設(shè) ?是 n 維非 0 列向量 ,??是 ?的轉(zhuǎn)置向量 ,E 是 n 階單位矩陣 ,A=E???.證明 : (1)A2=A 的充分必要條件是 ???=1. (2)當(dāng) ???=1 時 ,A 是不可逆矩陣 . 證明 : 例 26(應(yīng)用 ) 設(shè) Am?p,Bp?n,則 r(A)+r(B)p ? r(AB)? min{r(A),r(B)}. 證明 先看第二個不等式 :矩陣的乘法具有什么樣的性質(zhì) ?”左行右列 ”.更進(jìn)一步 ,乘積矩陣的行等于右邊矩陣的行的線性組合 ,組合系數(shù)是左邊矩陣相應(yīng)的行 。乘積矩陣的列等于左邊矩陣的列的線性組合 ,組合系數(shù)是右邊矩陣相應(yīng)的列 . 于是 ,AB的列均可由 A的列線性表示 ,而其行可由 B的行線性表示 ,從而其列秩不超過 A 的列秩 ,其行秩不超過 B 的行秩 ,因此該不等式成立 .再來看第一個不等式 :回 憶 可 逆 矩 陣 不 改 變 矩 陣 的 秩 , 且 存 在 可 逆 矩 陣 P 與 Q 使得000rEPAQ ??? ????,其中 r= r(A). 于是 PAB=PA1B = (PAQ)Q1B=C, 其中 C 的前 r 行為 Q1B 的前 r 行，后 mr 行均為零。注意 r(Q1B)=r(B),故共有p 行的矩陣 Q1B 的前 r 行的秩至少為 r(B)(pr)=r(A)+r(B)p,即 C 的秩至少為r(A)+r(B)p,但 r(C)=r(AB),ok. 例 27 設(shè) A 為 n 階矩陣，證明 r(An)=r(An+1). 證明 (此題較難 )顯然有 r(An)?r(An+1).若 A＝ 0 或 A可逆 ,則 An與 An+1 也等于0 或可逆 ,從而秩相等 . 現(xiàn)設(shè) A?0且 A不可逆 ,則 A, A2,… ,An,An+1 這 n+1 個矩陣的秩只能是 0,1,2,… ,n1 這 n 個數(shù) 。 從而必有兩個矩陣的秩相同 , 設(shè)為r(As)=r(At),1?st?n+1. 于是 , r(At1)=r(At). 斷言 r(At)=r(At+1). 如 此 將 有r(At+1)=r(At+2)=… = r(An)=r(An+1). 為此 ,只須證明方程 Anx=0 與 An+1x=0 同解 .只須證明后者的解也是前者的解 .設(shè) ?是后者的解 ,即 An+1?＝ 0,即 An(A?)＝ 0,因此A?是前者的解 .注意前者與 An1x＝ 0 同解 ,因此 A?是 An1x=0 的解 ,即 An1(A?)＝0,即 An?＝ 0! 例 27?設(shè) A 是矩陣 ,證明 :r(A)=r(ATA). 證明 首先 ,r(A)? r(ATA). 其次 ,證明方程 Ax=0 與 ATAx=0 同解 . 只須證明后者的解是前者的解 .設(shè) ??0 是后者的解 ,即 ATA?=0,欲證明 A?=0:如何證明一個向量 x等于 0向量 ?或者證明 x的每一個分量均為 0(這常常是過于憨厚的做法 ,但適合于可以計(jì)算的場合 ),或者證明 x 的長度等于 0,即證明 xTx=(A?)TA?=0,但這就是 ?TATA?=0:此當(dāng)然對 !這就是說向量 A?的長度的平方＝ 0， 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 16 因此 A?是 0 向量 ,即 A?＝ 0,故 ?是 Ax=0 的解 . 三 .特征值 /特征向量 /二次型 重中之重 ,每年線性代數(shù)必考 ? 核心內(nèi)容 特征值 /特征向量 /特征多項(xiàng)式 /相似對角化 /實(shí)對稱矩陣 /二次型 /正定矩陣 例 28 若三階方陣 A 的特征值為 1,0,1,則與方陣 B=A3A+2E 相似的對角矩陣為［ ］ . 例 29(1999) 設(shè) n 階矩陣 A 的元素全為 1,則 A 的 n 個特征值為 [ ]. 解 你當(dāng)然可以直接計(jì)算 .但其秩為 1,故最多有 1 個非 0 特征值 。又對角線元素之和為 n,故還有一個特征值為 .(秩為 1 的矩陣需特別關(guān)注 .) 例 30(1999) 設(shè)矩陣15310acAbca??????????,其行列式 |A|=1,又 A 的伴隨矩陣 A*有一個特征值 ?,屬于 ?的一個特征向量為 ?=(1,1,1)?,求 a,b,c 和 ?的值 . 解 如果計(jì)算 A*,則會有很多麻煩和困難 .因此應(yīng)該將條件轉(zhuǎn)到 A 上 .由于AA*=|A|E=E,以及 A*?=??,所以 ?=AA*?=A(??)=?A?, 即 1 1 15 3 1 1 ,1 0 1 1acbca?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 即 ( 1 ) 1 ,( 5 3 ) 1 ,( 1 ) 1 ,acbca???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 所以 ?=1,b=3,a= |A|=1,可知 1 0 11 | | 5 3 3 2 3 3 2 31 0 1 0 0a a aA a aaa??? ? ? ? ? ? ? ? ???, 所以 a=c=2. 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 中國最龐大的下載資料庫 (版權(quán)歸原作者所有 ) 17 例 31 設(shè) 3 階實(shí)對稱矩陣 A 有 3 個特征值 2,2,3 且130013A?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，求正交矩陣 Q,使得 TQ AQ 為對角矩陣 . 解 只需求屬于特征值 2 的特征向量 ,設(shè) 1 2 3( , , ) Tx x x x? 是屬于特征值 2 的特征向量 .由實(shí)對稱矩陣的性質(zhì) ,屬于特征值 2 的特征向量與屬于特征值 3的特征向量正交 ,