【正文】 x? ， 03 1 ??x ， ? ? ? ? 232330 11112 ???????? xxxxx （幾何平均值≤算術(shù)平均值，即 a0, b0 時(shí)， 2baab ?? ） 用數(shù)學(xué)歸納法可知 1?n 時(shí)， 230 ??nx， ??nx? 有界。 口訣（ 11）：數(shù)列極限洛比達(dá)；必須轉(zhuǎn)化連續(xù)型。 7．無窮小的重要性質(zhì) 有界變量乘無窮小仍是無窮小。 例 2．設(shè) ??xf 滿足 ? ? xxfxf ???????? 31s in31s in，求 ??xf 解：令 ? ? ? ?xfxg sin? ，則 ? ? xxgxg ???????? 3131， xxgxg222 3131313131 ??????????????， xxgxg43322 3131313131 ??????????????， …… ? ? xxgxg nnnnn 1211 3 131313 13 1 ??? ??????????????， 各式相加，得 ? ? ?????? ??????????? ? 19 19113131 nnn xxgxg ? ? ? 1?xg? ， 03131lim ???????? ?? xg nnn 89911 19 1911lim 1 ????????? ??? ??? nn ? 因此 ? ? xxg 89? ，于是 ? ? ?kxxf 289a r c s in ??或 ? ? xk89a r c s in12 ?? ?（ k 為整數(shù)） 口訣（ 7）：一步不行接力棒；最終處理見分曉。 由此可見，周期函數(shù) 有無窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。 （ ii）例： xxf 1)( ? 在（ 0， 1）內(nèi)無界，在（ 1/2， 1）內(nèi)有界 2．奇偶性： （ i）定義： 設(shè)區(qū)間 X 關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對 Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ??? ，則稱 ??xf 在 X 上是奇函數(shù)。 口訣（ 1）：函 數(shù)概念五要素；對應(yīng)關(guān)系最核心。 二重積分 （全體） 第四章 167。 高階微分方程 （數(shù)學(xué)二考生結(jié)束） 第八章 無窮級(jí)數(shù) （數(shù)學(xué)三考生結(jié)束 ） 第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何 第七章 167。 如果改變符號(hào)，寫成 xy? 和 xy ?? ，那么它們的圖像要變。 常用公式：為偶函數(shù)當(dāng)為奇函數(shù)當(dāng)ff)(20)(0?????? ??? aaa dxxfdxxf 口訣（ 4）：奇偶函數(shù)常遇到；對稱性質(zhì)不可忘。 解： 2??x ， 1183 ???y ， 3 3 yx ?? ， 22 ??? x ， 753 ???? xy ， yx ??5 ， 2?x ， ? ? 121 2 ???? xy ， yx ??? 12 ， 所以 ? ?xfy? 的值域?yàn)?? ? ? ? ? ????? ,117,31, ?? 反函數(shù)??????????????11,3.73,51,123 yyyyyyx 二、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表 達(dá)式 例 1．設(shè) ? ?21 xxxf ?? ，求 ? ?? ?? ? ? ?xfxfff n?? n 重復(fù)合 解： ? ? ? ?? ? ? ?? ? 222222 211111 xxxxxxxfxfxffxf ?????????， 若 ? ?21 kxxxfk ?? ， 則 ? ? ? ?? ? ? ? 222221 111111 xkxkxxkxxxfxfxfkkk ?????????? 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對正整數(shù) n ， ? ?21 nxxxfn ?? 例 2．已知 ? ? xx xeef ??? ，且 ?? 01?f ，求 ??xf 解：令 tex? ， tx ln? ，因此 ? ? ? ? t ttfef x ln???? ， ? ? ? ? xxtdtt tfxf x 221 ln211ln21ln1 ???? ? ?? 01 ?f? ， ? ? xxf 2ln21?? 三、有關(guān)四種性質(zhì) 例 1．設(shè) ? ? ? ?xfxF ?? ，則下列結(jié)論正確的是 （ ） （ A）若 ??xf 為奇函數(shù)，則 ??xF 為偶函數(shù) （ B）若 ??xf 為偶函數(shù)，則 ??xF 為奇函數(shù) （ C）若 ??xf 為周期函數(shù)，則 ??xF 為周期函數(shù) （ D）若 ??xf 為單調(diào)函數(shù)，則 ??xF 為單調(diào)函數(shù) 解：（ B）的反例 23)( xxf ? ； 1)( 3 ?? xxF ；（ C）的反例 1cos)( ?? xxf 。 極限 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、極限的概念與基本性質(zhì) 1．極限的概念 （ 1）數(shù)列的極限 Axnn ???lim （ 2）函數(shù)的極限 ? ? Axfx ????lim； ? ? Axfx ????lim； ? ? Axfx ???lim ? ? Axfxx ?? 0lim ； ? ? Axfxx ??? 0lim ； ? ? Axfxx ??? 0lim 2．極限 的基本性質(zhì) 定理 1 （極限的唯一性）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxf ?lim ，則 BA? 定理 2 （極限的不等式性質(zhì)）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 若 x 變化一定以后，總有 ? ? ? ?xgxf ? ，則 BA? 反之， BA? ，則 x 變化一定以后，有 ? ? ? ?xgxf ? （注：當(dāng) ? ? 0?xg ， 0?B 情形也稱為極限的保號(hào)性） 定理 3 （極限的局部有界性）設(shè) ? ? Axf ?lim 則當(dāng) x 變化一定以后， ??xf 是有界的。若 ? ? Axg ?lim ， ? ? Axh ?lim ，則 ? ? Axf ?lim 3．兩個(gè)重要公式 公式 1： 1sinlim0 ?? xxx 公式 2： ennn ??????? ???11lim ； eu uu ??????? ???11lim ； ? ? ev vv ???10 1lim 4．用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換 5．用泰勒公式（比用等價(jià)無窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 當(dāng) 0?x 時(shí)， ? ?nnx xonxxxe ?????? !!21 2 ? 例：求32021lim xxxe xx????用 ? ?332 !3!21 xoxxxe x ????? （最后一項(xiàng)比 3x 高階無窮小）原式 61)(6lim3330 ???? xxoxx，這樣比用洛比達(dá)法則簡單 ? ? ? ? ? ?121253 !121!5!3s i n ?? ??????? nnn xonxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxx 2242 !21!4!21c o s ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xonxxxxx ??????? ? 132 1321ln ? ? ? ? ?1212153 12153ar ct an ??? ???????? nnn xonxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nna xoxn naaaxaaaxx ??????????? ! 11!2 111 2 ?? 6．洛必達(dá) 法則 專門來處理七種比較困難的極限： 00 ； ?? ； ?*0 ； ??? ； ?1 ； 0 ； 0? 第一層次：直接用洛比達(dá)法則可處理 00 和 ?? 兩種 法則 1：（ 00 型）設(shè)（ 1） ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg （ 2） x 變化過程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） （注：如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無窮大量情形，則不能得出 ? ?? ?xgxflim不存在且不是無窮大量情形） 法則 2：（ ?? 型）設(shè)（ 1） ? ? ??xflim ， ? ? ??xglim （ 2） x 變化過程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） 例：20 cos1lim x xx ?? 方法一：等價(jià)無窮小替換 221~cos1 xx? 方法二：洛比達(dá)法則 分子分母求導(dǎo)得 xx2sin ，然后可以用公式一。 例 2．設(shè) 0?a ， 1?r ，求 ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： )...1)(1(1 12 ???????? nn rrrrr? ? ? rarraarara nnnn ?????????????? 111l i ml i m 1? 特例 （ 1 ）求? ? ?????? ??????????????????????? ??? nnn 321323232l i m 132 ? 解 ： 例 2 中取 32?a ， 32??r ，可知原式 =5232132????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 解： 分子、分母用 n3 除之， 原式 = 31322323lim ????????????????? nnn 或分子分母用 13?n 除之，原式 331)32()32(311lim1??????? nnn （注：主要用當(dāng) 1?r 時(shí)， 0lim ??? nn r） 例 4． 設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 解： 例如 2?l 時(shí)，? ? )2(1)1)(1( 1...64 153 142 131 1211 ????????????????? nnnnkknk ?????? ???????????????? )211()1111(...)6141()5131()4121()311(21 nnnn ?????? ?????? 211121121 nn ? ? ?????? ???? 11111 kkllkk? ? ??? ?????? ??????????? nk lnnllkk11111211111 ?? 因此原式 ?????? ???? ll 12111 ? 特列： （ 1） ? ????? ??nkn kk1 111lim ? ?1?l （ 2） ? ????? ??????? ???nkn kk1 432112121lim ? ?2?l 二、用兩個(gè)重要公式 例 1． 求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 解： 當(dāng) 0?x ，原式 1? 當(dāng) 0?x 時(shí) ， 原 式nnnnnn xxxxx2s in22c o s4c o s2c o s2s in2lim ???? nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111???????? ?? nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m ??????? xxsin? 例 2．求 xx xx ?????? ???? 11lim 解一： ? ?? ? 211111lim/1 /1lim11lim ???????? ???????? ??????? ???????? ????????? ?? eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 21221121lim11lim ??????? ???????? ?????? ??????? ?????? ?????????? ?? exxx x xxxxx 例 3． ? ? xx x 2cot0 coslim? ? ? xxx x 22s i n2c os20 s in1lim