高等數(shù)學重積分重點難點(存儲版)
【正文】 題1. 設(shè)在上連續(xù)，證明不等式 等號僅當為常數(shù)時成立.分析：利用“非負被積函數(shù)的二重積分非負”的性質(zhì)來證明. 在證明等號成立的條件時，用到了“非負連續(xù)函數(shù)的定積分為零，則此函數(shù)恒為零”的性質(zhì). 證明：因為 故有 當為常數(shù)時，顯然上述等號成立. 反之，設(shè)上述等號成立，則 由于函數(shù)是上非負連續(xù)函數(shù)，故，.特別即，又由于函數(shù)是上非負連續(xù)函數(shù)， 故，.因此， 即為常數(shù).2. 在下列二次積分中改變積分次序 1)分析：積分域：，也表示為兩個區(qū)域的并，其中： ：解：2)分析：注意到當，盡管這個二次積分并不是在由及所圍區(qū)域上的二重積分，但是改變積分次序使之與原二次積分相等仍為可能.解：＝ 3. 計算下列二重積分1) ，其中是和 為邊的平行四邊形區(qū)域.分析：當從變到，對每一固定的，從變到故化為先對后對的二重積分較簡單.解：： 2) ，其中是由軸和擺線的第一拱所圍的區(qū)域分析：區(qū)域：，其中為擺線的直角坐標方程，顯然當時，解： 3)，其中：， 分析：將區(qū)域分成兩塊，使被積函數(shù)再利用二重積分的關(guān)于積分域的可加性，分塊計算解：曲線將區(qū)域分成 ：， ：， 4),其中: 分析：當二重積分的積分域為圓域或扇形域，可考慮用極坐標 解： 分析：由于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出，可考慮改變積分次序后再計算.解：設(shè)區(qū)域： ，且上任一點處的面密度為，求此薄片的質(zhì)量.分析：平面薄片的質(zhì)量等于密度函數(shù)再區(qū)域上的二重積分，再利用區(qū)域?qū)ΨQ化簡計算. 解：薄片的質(zhì)量 . 分析：將所求的曲面投影到面計算最簡單，投影域為曲線所圍部分.解：投影域：： 由，知 .分析：一般極坐標形式的二次積分為先對后對的二次積分，當然也可化為先對后對的二次積分.解：區(qū)域可表示為：及：
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