高等數(shù)學(xué)重積分重點難點(文件)
【正文】 積分域也可表示為：及：兩部分. ＋，并設(shè)，求.分析：求解關(guān)鍵是利用二重積分對坐標(biāo)輪換對稱的性質(zhì)，即區(qū)域的邊界曲線方程關(guān)于對稱，則有 .解：變換積分次序得 .分析：求體積可用二重積分，也可用三重積分.解一：投影域： 解二：，其中是由所圍成的區(qū)域分析：在面上投影域如圖所示，在上的點，在不知道曲面形狀的情況下，也容易寫出的積分范圍.解：： ，其中是由曲面繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的立體.分析：是由旋轉(zhuǎn)曲面與所圍而成的立體，化三重積分的計算中可化為先對或后對的積分.解一：：， 解二：：，其中 ，其中是由及所圍成的區(qū)域.分析：此題可分別化為直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的三重積分，主要這個三重積分不可將它理解為在大的圓錐區(qū)域積分減去小的圓錐區(qū)域積分.解： ，其中：分析：兩邊在上求三重積分，解出即可.解：設(shè)，則 ，故分析：由于被積函數(shù)是的函數(shù)，故將積分次序變換后，把對的積分算出，再將的積分次序變換，又可把對的積分算出，最后保留對的積分式子.解： ：由平面圖形繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積分別是和證明：曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：，在面上投影域為：故所求體積曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：在面上投影域為：故所求體積 即.分析：所圍的空間區(qū)域在面上的投影域的確定以及如何在此投影域上積分是此題的關(guān)鍵.解：曲面在處的法向量則切平面方程為即所以切平面與曲面的交線在面上的投影曲線為即所求空間在面上的投影域為故：，.分析：由于為球體，且被積函數(shù)出現(xiàn)項，故可用球面坐標(biāo)計算，同時注意到區(qū)域的對稱性.解：密度此球體的質(zhì)量由對稱性易知 而 即球體的質(zhì)心：五、自測題(A)一、 選擇題(3分5＝15分)1. 設(shè)為在第一象限部分，二重積分可化為 A) B) C) D) 2. 設(shè)
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