【導(dǎo)讀】我們講義共寫了八章，數(shù)學(xué)一的考生全部要學(xué)，而其它考生只需要其中的一部分。根據(jù)共同需要的內(nèi)容先講的原則，講課。由于不單值，所以要看作yx?如果改變符號，寫成xy?另外有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M，使Xx?在（0，1）內(nèi)無界，在內(nèi)有界。xf，則單調(diào)減少。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。沒有最小公倍數(shù)。xfy的值域，并求它的反函數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對正整數(shù)n，??

　　

【正文】 。 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 167。 導(dǎo)數(shù)與微分 （甲）內(nèi)容要點(diǎn) 一、導(dǎo)數(shù)與微分概念 1．導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量 x 在 0x 處有增量 x? ，相應(yīng)地函數(shù)增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 。如果極限 ? ? ? ?x xfxxfxyxx ??????????? 0000 limlim 存在，則稱此極限值為函數(shù) ??xf 在 0x 處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作 ? ?0xf? ，或0xxy ?? ，0xxdxdy ? ， ? ?0xxdxxdf ?等，并稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)。如果上面的極限不存在，則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ，則 ? ? ? ? ? ?0000lim xxxfxfxfxx ????? 我們也引進(jìn) 單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 右導(dǎo)數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ?? ???? 0000 00 limlim 0 左導(dǎo)數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x xfxxfxx xfxfxf xxx ? ???????? ?? ???? 0000 00 limlim 0 則有 ??xf 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo) ? ?xf? 在點(diǎn) 0x 處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處導(dǎo)數(shù) ? ?0xf? 存在，則在幾何上 ? ?0xf? 表示曲線 ? ?xfy? 在點(diǎn) ? ?? ?00, xfx 處的切線的斜率。 切線方程： ? ? ? ?? ?000 xxxfxfy ???? 法線方程： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?010000 ??????? xfxxxfxfy 口訣（ 18）：切線斜率是導(dǎo)數(shù)，法線斜率負(fù)倒數(shù)。 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程 S 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系為 ??tfS? ，如果 ? ?0tf? 存在，則 ? ?0tf? 表示物體在時(shí)刻 0t 時(shí)的瞬時(shí)速度。 3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，則 ??xf 在點(diǎn) 0x 處一定連續(xù)，反 之不然，即函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)。例如， ? ? xxfy ?? ，在 00?x 處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。 4．微分的定義 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處有增量 x? 時(shí)，如果函數(shù)的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 有下面的表達(dá)式 ? ? ? ?xoxxAy ????? 0 ? ?0??x 其中 ? ?0xA 為 x? 為無關(guān)， ? ?xo? 是 0??x 時(shí)比 x? 高階的無窮小，則稱 ??xf 在 0x 處可微，并把 y? 中的主要線性部分 ? ? xxA ?0 稱為 ??xf 在 0x 處的微分，記以0xxdy ? 或 ? ?0xxxdf ? 。 我們定義自變量的微分 dx 就是 x? 。 5．微分的幾何意義 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 是曲線 ? ?fy? 在點(diǎn) 0x 處相應(yīng)于自變量增量 x? 的縱坐標(biāo) ? ?0xf 的增量，微分0xxdy ? 是曲線 ? ?xfy? 在點(diǎn) ? ?? ?000 , xfxM 處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見圖）。 6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系 ??xf 在 0x 處可微 ? ?xf? 在 0x 處可導(dǎo)。 口訣（ 19）：可導(dǎo)可微互等價(jià)；它們都比連續(xù)強(qiáng)。 且 ? ? ? ?dxxfxxAxxdy 000 ????? 一般地， ? ?xfy? 則 ? ?dxxfdy ?? 所以導(dǎo)數(shù) ? ? dxdyxf ?? 也稱為微商，就是微分之商的含義。 7．高階導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù) ? ?xfy? 的導(dǎo)數(shù) ? ?xfy ??? 在點(diǎn) 0x 處仍是可導(dǎo)的，則把 ? ?xfy ??? 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)稱為 ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處的二階導(dǎo)數(shù)，記以0xxy ?? ，或 ? ?0xf? ，或022xxdxyd ?等，也稱 ??xf 在點(diǎn) 0x 處二階可導(dǎo)。 如果 ? ?xfy? 的 1?n 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱為 ? ?xfy? 的 n 階導(dǎo)數(shù)，記以 ??ny ， ? ???xyn ，nndxyd 等，這時(shí)也稱 ? ?xfy?是 n 階可導(dǎo)。 二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算 1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略） 2．導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則 （ 1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式 39。21239。139。21 ][ ffffff ?? 39。321339。213239。139。321 ][ ffffffffffff ??? 239。39。39。)(g fggfgf ?? （ 2）反函數(shù)求導(dǎo)公式 設(shè) )(xfy? 的反函數(shù)為 )(ygx? ，則)]([ 1)(1)( 39。39。39。 ygfxfyg ?? （ 3）復(fù) 合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式 設(shè) )(),( xguufy ?? ，則 )()]([ 39。39。 xgxgfdxdududydxdy ?? （ 4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則 每一次對 x 求導(dǎo)，把 y 看作中間變量，然后解出 39。y 例： 765)23s in ( ?????? yxyxe yx ，確定 )(xyy? ，求 39。y 解：兩邊每一項(xiàng)對 x 求導(dǎo)，把 y 看作中間變量 065)23)](23[ c o s ()1( 39。39。39。 ???????? yyyxye yx 然后把 39。y 解出來 （ 5）對數(shù)求導(dǎo)法 取對數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則 )4)(3( )2)(1( ?? ??? xx xxy )]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln ???????? xxxxy 求導(dǎo)得 )41312111(2139。 ???????? xxxxyy 解出 39。y 0?? xxy x xxey ln? 解出 39。y xxy lnln ? 1ln39。 ?? xyy解出 39。y （ 6）用參數(shù)表示函數(shù)的求導(dǎo)公式 設(shè) ),(),( tytx ?? ?? 則 )0)(39。()(39。)(39。 ??? tttdtdxdtdydxdy ??? （乙）典型例題 一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 例．設(shè) ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在 ax? 處連續(xù)，求 ??af? 解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?agax xgaxax afxfafaxax ?? ??????? ?? 0limlim 二、分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性 例 1．設(shè)函數(shù) ? ???? ?? ?? 1, 1,2 xbax xxxf 試確定 a 、 b 的值，使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)。 解： ?可導(dǎo)一定連續(xù)， ? ??xf 在 1?x 處也是連續(xù)的。 由 ? ? ? ? 1limlim01 211 ???? ?? ?? xxff xx ? ? ? ? ? ? babaxxffxx ?????? ?? ?? 11 limlim01 要使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處連續(xù)，必須有 1??ba 或 ab ??1 又 ? ? ? ? ? ? ? ? 21l i m11l i m1 1l i m11211 ????????????? ???? xxxx fxffxxx ? ? ? ? ? ? ? ? axxax baxx fxff xxx ????? ??????? ??? ???? 1 1lim1 1lim1 1lim1 111 要使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)，必須 ?? ??11 ?? ??? ff ，即 a?2 。 故當(dāng) 2?a ， 1211 ?????? ab 時(shí)， ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)。 例 2．設(shè) ? ? ? ?? ? 1lim112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf ，問 a 和 b 為何值時(shí)， ??xf 可導(dǎo)，且求 ??xf? 解： 1?x? 時(shí)， ? ? ?????? 1lim xnn e， 1?x 時(shí)， ? ? 0lim 1 ???? xnn e ? ????????????????,1 ,1,2 1 ,1 ,2xbaxxbaxxxf 由 1?x 處連續(xù)性， ? ? 1limlim 211 ?? ?? ?? xxf xx， ? ? 12 11 ???? baf ，可知 1??ba 再由 1?x 處可導(dǎo)性， ? ? ? ?1 1lim1 21 ??????? xfxfx存在 ? ? ? ? ? ?1 1lim11 ???????? xfbaxfx存在 且 ?? ??11 ?? ??? ff 根據(jù)洛必達(dá)法則 ? ? 212lim11 ??? ???xfx ? ? aafx ??? ??? 1lim1 1， 2??a 于是 11 ???? ab ? ???????????,1 ,12,1 ,1,1 ,2xxxxxxf ? ???? ???? 1, 2, 1, ,2 xxxxf 三、運(yùn)用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)或微分 例 1．設(shè) ??xf 可微， ? ? ? ?xfexfy ?? ln ，求 dy 解： ? ? ? ? ? ? ? ?xdfedexfdy xfxf lnln ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dxexfxdxxfexf xfxf ln1ln ???? ? ? ? ? ? ? ? ? dxxfxxfxfe xf ?????? ???? ln1ln 例 2．設(shè) xxxy? ? ?0?x ，求 dxdy 解： xxy x lnln ? 對 x 求導(dǎo)，得 ? ? xx xxxxyy 1ln1 ???? 再令 xxy ?1 ， xxy lnln 1 ? ，對 x 求導(dǎo)， 1ln111 ??? xyy， ? ? ? ?1ln ???? xxx xx 于是 ? ?? ? xxxx xxxxxdxdy 1ln1ln ???? ? ?0?x 例 3．設(shè) ? ?xyy? 由方程 xy yx ? 所確定，求 dxdy 解： 兩邊取對數(shù)，得 yxxy lnln ? ， 對 x 求導(dǎo)， yyxyxyxy ????? lnln yxyxyxy lnln ?????????? ??，xxyx yxyyy lnln22???? 例 4．設(shè) ? ???????????t uttuduueyuduex2021lns in2 求dydx 解： ? ?tetettedtdydtdxdydxttt21ln2s ins in222 24???? 四、求切線方程和法線方程 例 1．已知兩曲線 ? ?xfy? 與 dtey x t? ?? arctan0 2 在點(diǎn) ? ?0,0 處的切線相同，寫出此切線方程，并求 ???????? nnfn 2lim。 解： 由已知條件可知 ? ? 00 ?f ， ? ? ? ? 1010 2a r c ta n 2 ??????xxefx 故所求切線方程為 xy? ? ?? ? 2022022lim2lim ?????????????????? ???? fnfnfnnf nn 例 2．已知曲線的極坐標(biāo)方程 ?cos1??r ，求曲線上對應(yīng)于 6??? 處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程。 解： 曲線的參數(shù)方程為 ? ?? ???? ???? ???? ????? ???? c o ss ins ins inc o s1 c o sc o sc o sc o s1 2yx 16s i nc o s2s i ns i nc o sc o s6622???? ?????? ????? ?????????ddxddydxdy 指定點(diǎn)處 ,2316c o s1,6 ????? ??? r 對應(yīng)直角坐標(biāo)為 )4321,4323( ?? 故切線 方程 ???????? ?????? 432314321 xy