【正文】 向量組的秩與矩陣的 秩的概念 （ 1）向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩 — 設(shè) n??? , 21 ? 為一個(gè)向量組，若n??? , 21 ? 中存在 r 個(gè)線性無關(guān)的子向量組，但任意 1?r 個(gè)子向量組（如果有）線性相關(guān)，稱 r 個(gè)線性無關(guān)的子向量組為向量組 n??? , 21 ? 的一個(gè)極大線性無關(guān)組， r稱為 向量組 n??? , 21 ? 的秩。 [注解 ]（ 1） ?????? T?? ),(),( ； （ 2） 212 ||),( ??? ?? ??ni ia； （ 3） ),(),(),( ??????? ??? ； （ 4） ),(),(),( ?????? kkk ?? 。 設(shè) A 是 nm? 矩陣， B 是 mn? 矩陣， mn? 且 EAB? ，證明： mBr ?)( 。 （ 1）證明： B 可逆；（ 2）求 1?AB 。 5）設(shè)矩陣 A 可逆，則|| 1|| 1 AA ??。 （ 2）矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的性質(zhì) 1）設(shè) BA, 為同階方陣，則 |||||| BAAB ? 。 [注解 ]（ 1）矩陣轉(zhuǎn)置性質(zhì) 1） AA TT ?)( 。 （ 7） )()( BrArBAr ?????????? ； （ 8） 1） OAAr ??? 0)( 。 （三）矩陣秩的求法 將 A 用初等行變換化為階梯矩陣，階梯矩陣的非零行數(shù)即為矩陣 A 的秩。 （ 3） 111)( ??? ? ABAB ，更進(jìn)一步 11111121 )( ????? ? AAAAAA nnn ?? 。 第四步，三個(gè)問題 問題 1 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， A 可都經(jīng)過有限次初等行變換化為 E ？ 問題 2 設(shè) A 是 n 階不可逆矩陣， A 是否可以經(jīng)過有限次初等行變換化為 ???????? OO OEr？ 問題 3設(shè) A 是 n 階不 可逆矩陣， A 是否可以經(jīng)過有限次初等變換化為 ???????? OO OEr？ 第五步，逆陣計(jì)算理論 28 問題 1的答案是肯定的，于是有 定理 1 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣，則 A 經(jīng)過有限次初等行變換化為 E ，且)()( 1?? AEEA ?? 。 )0)(( ?ccEi — 將 E 的第 i 行乘以非零常數(shù) c 或 E 的第 i 列乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣，如 )5(5000100013 ?????????????E。 第二步，矩陣的三種初等行變換 （ 1）對(duì)調(diào)矩陣的兩行； （ 2）矩陣的某行乘以非零常數(shù)倍； （ 3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行， 以上三種變換稱為矩陣的三種初等行變換。 （三）兩個(gè)問題 問題 1 設(shè) A 為 n 階矩陣， A 何時(shí)可逆？ 問題 2 若 A 可逆，如何求 1?A ？ （四）逆陣存在的充分必要條件 定理 設(shè) A 為 n 階矩陣，則矩陣 A 可逆的充分必要條件是 0|| ?A 。 （ 2）當(dāng) 0,0 ?? ba 時(shí)，方程 bax? 的解為一切實(shí)數(shù)。 （ 3）矩陣多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解的充分必要條件是矩陣乘法可交換。 2）矩陣與矩陣的乘法： 設(shè)???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????nsnnssbbbbbbbbbB??????212222111211，則 25 ???????????????msmmnscccccccccC???????212222111211，其中 ???nk kjikij bac 1（ sjmi ,2,1。 24 轉(zhuǎn)置矩陣 — 設(shè)???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，記???????????????mnnnmmTaaaaaaaaaA???????212221212111，稱 TA 為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣。 （ 2）對(duì) nmijaA ?? )( ，若 nm? ，稱 A 為 n 階方陣。 設(shè) 321 , ????? 為 4維列向量 ,且 4|,||| 321 ?? ????A ， 21|,3,||| 321 ?? ????B ， 求 || BA? 。 四、行列式的應(yīng)用 — 克萊姆法則 對(duì)方程組???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???? （ I ） 及 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ II ） 其中 )(II 稱為非齊方程組， )(I 稱為 )(II 對(duì)應(yīng)的齊次方程組或 )(II 的導(dǎo)出方程組。 行列式的某行（或列）的每個(gè)元素皆為兩數(shù)之和時(shí)，行列式可分解為兩個(gè)行列式，即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa?????????????????????????????????21211121121211121121221111211?????。 行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 上（下）三角行列式 — 稱 nnnnaaaaaa???????000 22211211及nnnn aaaaaa???????21222111000為上三角行列式和下三角行列式，它們都等于主對(duì)角線上的元素之積。 定義 2 逆序數(shù) — 設(shè) niii ?21 是 n,2,1 ? 的一個(gè)排列，該排列所含的逆序總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為 )( 21 niii ?? ，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。 )()1(2)1ln ( 12 nnn xoxnxxx ??????? ??。 )()!12( )1(!3s in 12123 ?? ??????? nnn xoxnxxx ?。 19 三、高階中值定理 — 泰勒中值定理 背景：求極限30 sinlim x xxx ??。 典型題型 題型一：結(jié)論中含一個(gè)中值 ? ，不含 ba, ，且導(dǎo)出之間差距為一階 【例題 1】設(shè) ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， 0)()( ?? bfaf ，證明：存在 ),( ba?? ，使得 0)()( ??? ?? ff 。 18 【注解】 （ 1）中值定理的等價(jià)形式為： ))(()()( abfafbf ???? ?，其中 ),(a?? ； )) ] (([)()( ababafafbf ?????? ?，其中 10 ??? 。 【結(jié)論 1】設(shè)連續(xù)函數(shù) )(xf 在 ax? 處取極值，則 0)( ??af 或 )(af? 不存在。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點(diǎn)。 17 第三講 中值定理及應(yīng)用 一、預(yù)備知識(shí) 極值點(diǎn)與極值 — 設(shè)連續(xù) ))(( Dxxfy ?? ，其中 Dx?0 。 （四）分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】設(shè)??? ?? ?? 0),1ln( 0,s in)( xxxxxf，求 )(xf? 并討論 )(xf? 的連續(xù)性。 （ 2）設(shè) )(xf 在 ax? 處連續(xù)，若 Aax xfax ??? )(lim，則??? ?? ? Aaf af )( 0)(。 ukku ???)( 。 （ 1） xx cos)(sin ?? ； （ 2） xx sin)(cos ??? ； （ 3） xx 2sec)(tan ?? ； （ 4） xx 2cs c)(co t ??? ； （ 5） xxx tans ec)(s ec ?? ； （ 6） xxx c otc s c)( c s c ??? ； （ 7） )2s in ()( s in )( ?nxx n ?? ； （ 8） )2c o s ()( c o s )( ?nxx n ?? 。 二、求導(dǎo)數(shù)三大工具 （一）基本公式 0)( ??C 。 可微 — 設(shè) )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若)( xoxAy ????? ，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可微，記 xAdy ?? ，或者 Adxdy? 。 若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處的左導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ，若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處的右導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ， )(xfy? 在點(diǎn) 0xx?處可導(dǎo)的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 【例題 1】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ， 1)1(,0)0( ?? ff ，證明：存在 )1,0(?c ，使得 ccf ??1)( 。 定理 3 （零點(diǎn)定理） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 0)()( ?bfaf ，則存在 ),( ba?? ，使得0)( ??f 。 ex xx ???? )11(lim。 【例題 11】計(jì)算 ???????? ???????? nnnnn 22212111lim ?。 （二）極限的存在性質(zhì) 定理 1 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。 【例題 10】求函數(shù) xxxf tan )1ln()( 2?? 的間斷點(diǎn)及類型。 進(jìn)一步地，若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為 )(xf 的可去間斷點(diǎn)； 若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為 )(xf 的跳躍間斷點(diǎn)。 12 【注解】 )(xf 在 ax? 處連續(xù)的充分必要條件是 )()0()0( afafaf ???? 。 【例題 5】計(jì)算極限 )c o s1s in1(lim2220 xxxx ??。 （ 2）等價(jià)無窮小性質(zhì) 1） ??~ ； 2）若 ??~ ，則 ??~ ； 3）若 ???? ~,~ ，則 ??~ ； 4）若 ???? ?? ~,~ 且 A?????lim ，則 A???lim 。 （ 2）無窮小的層次 — 設(shè) 0,0 ?? ?? ，若 0lim ??? ，稱 ? 為 ? 的高階無窮小，記為)(?? o? ；若 0lim ??k?? ，稱 ? 與 ? 為同階無窮小，記為 )(?? O? ，特別地，若 11 1lim ??? ，稱 ? 與 ? 為等價(jià)無窮小，記 為 ??~ 。 【注解】 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無定義無關(guān)。 極限 （ 1）數(shù)列極限 ( N?? )— 若對(duì)任意的 0?? ，總存在 0?N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ??? || Aan 10 成立，稱數(shù)列 }{na 以 A 為極限，記為 Aann ???lim。 （ 2）周期性 — 設(shè) )(xf 的定義域?yàn)?D ， 若存在 0?T ，使得對(duì)任意的 Dx? ，有 DTx ??且 )()( xfTxf ?? ，稱 )(xf 為周期函數(shù)。 【例題 2】計(jì)算 ? ??0 42 s ins in dxxxx。 9 2）nnn Idxxdxx 2s in2s in 200 ?? ???? 。 3）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ??? ，則 0)( ???aa dxxf。 （ 6）設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 Mxfm ?? )( ，則 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?。 （ 4） abdxba ???。 分部積分法 — 設(shè) vu, 在 ],[ ba 上連續(xù)可導(dǎo)，則 ?? ?? bababa vd uuv