自考線性代數(shù)學習指導(存儲版)
【正文】 為階方陣二、特殊矩陣1．行矩陣：只有一行元素的矩陣 (也可以稱為維行向量, )2．列矩陣：只有一列元素的矩陣 (也可以稱為維列向量,)注意：向量是特殊的矩陣，而且是非常重要的特殊矩陣，后面會詳細介紹3．0矩陣：所有元素都為0的矩陣，用或者表示， 如 三、特殊方陣1．階對角陣：, 或者簡寫為2．階數(shù)量陣： 或者 3．階單位陣：，或者4．階對稱矩陣(實對稱矩陣) ：設為階實方陣，若，稱為對稱陣()5．階反對稱陣(實反對稱矩陣)：設為階實方陣，若，稱為反對稱陣 () 注意：若為反對稱矩陣，則必有(主對角線上的元素都為0)四、同型矩陣行數(shù)和列數(shù)都相等的兩個矩陣，稱為同型矩陣。 若時，則它有無窮多個解，必有非零解) 第二章 矩陣及其運算一、矩陣的概念(數(shù)表) 定義：由個數(shù)排成的一個行列的數(shù)表，稱為一個行列矩陣．(1)稱為矩陣的第行第列元素(2)：行標。把中對應不同的的所有階子式放在一起，可以分成兩大類：值與零的與值不為零的。(5) 。是的特征向量，也是的特征向量2. 若方陣的個特征值是，則有(1) (主對角線上的元素之和)(2)二、矩陣的相似 (對比: 矩陣的等價，矩陣的合同)定義：設和是兩個階方陣，如果存在某個階可逆矩陣，使得則稱和是相似的，記為同階方陣之間的相似關系有以下三條性質(1)反身性： (2)對稱性： 若,則(3)傳遞性： 若,則 三、定理：相似矩陣必有相同的特征值，因而必有相同的特征多項式,相同的跡和相同的行列式四、定理： 階方陣相似于對角矩陣有個線性無關的特征向量五、矩陣的相似標準形 定義：若對于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對角矩陣，則稱對角矩陣為的相似標準形六、定理：設和分別是階方陣的屬于兩個不同特征值和的特征向量，則和必線性無關七、兩個矩陣相似的結論 () 3.4. 5. 八、施密特正交化方法 將向量組標準正交化 第一步：先正交化 ， ，第二步：標準化(單位化) ， 比喻：新領導對應同級別的老領導，同時新領導考慮到自己的部下九、正交矩陣十、實對稱矩陣的相似標準形第六章 二次型一、實二次型二、二次型的矩陣三、二次型的標準形和規(guī)范形四、相似標準形五、合同矩陣六、慣性定理 (正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)、符號差)七、順序主子式八、正定矩陣(負定矩陣、半負定矩陣、不定矩陣)主要考點匯總編號概念定義性質、結論及其拓展1行列式定義省略行列式為階，或者都是階矩陣結論：2轉置矩陣定義省略常用運算性質：(1)(2)(交換順序)(3)拓展：(1),若可逆，則必然可逆(2)時，稱為正交矩陣(若正交，則必然正交)3逆矩陣定義：都是階矩陣，滿足,則稱互為逆矩陣，記作或者注意：或為滿秩可逆常用運算性質：(1)(2)(交換順序)(3)拓展：(1)(2)的特征值為則 的特征值為4矩陣的等價定義：若矩陣經過若干次初等變換變?yōu)?，則稱與等價，記為 (即)矩陣之間的等價關系有以下三條性質(1)反身性 (2)對稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 5矩陣的相似定義：設和是兩個階方陣，如果存在某個階可逆矩陣，使得則稱和是相似的，記為(即)同階方陣之間的相似關系有以下三條性質(1)反身性 (2)對稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 拓展：注意：反過來不成立即若，與不一定相似3.(跡)4. (同時可逆或者同時不可逆)5. ；；()=秩()6矩陣的合同定義：設和是兩個階方陣，如果存在某個階可逆矩陣，使得則稱和是合同的(合同于)，記為(即)性質：(1)反身性 (2)對稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 注意：合同變換不改變二次型的正定性7正交矩陣性質：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩陣的特征值只能是拓展：(1)兩個同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣(2)階實方陣正交，則的個行(列)向量是標準正交向量組8等價標準形定理 ： 對于任意一個矩陣，一定存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 稱為的等價標準形9相似標準形
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