自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)(存儲(chǔ)版)
【正文】 為階方陣二、特殊矩陣1．行矩陣：只有一行元素的矩陣 (也可以稱為維行向量, )2．列矩陣：只有一列元素的矩陣 (也可以稱為維列向量,)注意：向量是特殊的矩陣，而且是非常重要的特殊矩陣，后面會(huì)詳細(xì)介紹3．0矩陣：所有元素都為0的矩陣，用或者表示， 如 三、特殊方陣1．階對(duì)角陣：, 或者簡寫為2．階數(shù)量陣： 或者 3．階單位陣：，或者4．階對(duì)稱矩陣(實(shí)對(duì)稱矩陣) ：設(shè)為階實(shí)方陣，若，稱為對(duì)稱陣()5．階反對(duì)稱陣(實(shí)反對(duì)稱矩陣)：設(shè)為階實(shí)方陣，若，稱為反對(duì)稱陣 () 注意：若為反對(duì)稱矩陣，則必有(主對(duì)角線上的元素都為0)四、同型矩陣行數(shù)和列數(shù)都相等的兩個(gè)矩陣，稱為同型矩陣。 若時(shí)，則它有無窮多個(gè)解，必有非零解) 第二章 矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念(數(shù)表) 定義：由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)行列的數(shù)表，稱為一個(gè)行列矩陣．(1)稱為矩陣的第行第列元素(2)：行標(biāo)。把中對(duì)應(yīng)不同的的所有階子式放在一起，可以分成兩大類：值與零的與值不為零的。(5) 。是的特征向量，也是的特征向量2. 若方陣的個(gè)特征值是，則有(1) (主對(duì)角線上的元素之和)(2)二、矩陣的相似 (對(duì)比: 矩陣的等價(jià)，矩陣的合同)定義：設(shè)和是兩個(gè)階方陣，如果存在某個(gè)階可逆矩陣，使得則稱和是相似的，記為同階方陣之間的相似關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性： (2)對(duì)稱性： 若,則(3)傳遞性： 若,則 三、定理：相似矩陣必有相同的特征值，因而必有相同的特征多項(xiàng)式,相同的跡和相同的行列式四、定理： 階方陣相似于對(duì)角矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量五、矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 定義：若對(duì)于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣，則稱對(duì)角矩陣為的相似標(biāo)準(zhǔn)形六、定理：設(shè)和分別是階方陣的屬于兩個(gè)不同特征值和的特征向量，則和必線性無關(guān)七、兩個(gè)矩陣相似的結(jié)論 () 3.4. 5. 八、施密特正交化方法 將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化 第一步：先正交化 ， ，第二步：標(biāo)準(zhǔn)化(單位化) ， 比喻：新領(lǐng)導(dǎo)對(duì)應(yīng)同級(jí)別的老領(lǐng)導(dǎo)，同時(shí)新領(lǐng)導(dǎo)考慮到自己的部下九、正交矩陣十、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第六章 二次型一、實(shí)二次型二、二次型的矩陣三、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形四、相似標(biāo)準(zhǔn)形五、合同矩陣六、慣性定理 (正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差)七、順序主子式八、正定矩陣(負(fù)定矩陣、半負(fù)定矩陣、不定矩陣)主要考點(diǎn)匯總編號(hào)概念定義性質(zhì)、結(jié)論及其拓展1行列式定義省略行列式為階，或者都是階矩陣結(jié)論：2轉(zhuǎn)置矩陣定義省略常用運(yùn)算性質(zhì)：(1)(2)(交換順序)(3)拓展：(1),若可逆，則必然可逆(2)時(shí)，稱為正交矩陣(若正交，則必然正交)3逆矩陣定義：都是階矩陣，滿足,則稱互為逆矩陣，記作或者注意：或?yàn)闈M秩可逆常用運(yùn)算性質(zhì)：(1)(2)(交換順序)(3)拓展：(1)(2)的特征值為則 的特征值為4矩陣的等價(jià)定義：若矩陣經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)?，則稱與等價(jià)，記為 (即)矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性 (2)對(duì)稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 5矩陣的相似定義：設(shè)和是兩個(gè)階方陣，如果存在某個(gè)階可逆矩陣，使得則稱和是相似的，記為(即)同階方陣之間的相似關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性 (2)對(duì)稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 拓展：注意：反過來不成立即若，與不一定相似3.(跡)4. (同時(shí)可逆或者同時(shí)不可逆)5. ；；()=秩()6矩陣的合同定義：設(shè)和是兩個(gè)階方陣，如果存在某個(gè)階可逆矩陣，使得則稱和是合同的(合同于)，記為(即)性質(zhì)：(1)反身性 (2)對(duì)稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 注意：合同變換不改變二次型的正定性7正交矩陣性質(zhì)：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩陣的特征值只能是拓展：(1)兩個(gè)同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣(2)階實(shí)方陣正交，則的個(gè)行(列)向量是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組8等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定理 ： 對(duì)于任意一個(gè)矩陣，一定存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 稱為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形9相似標(biāo)準(zhǔn)形
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