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2024-09-01 14:33本頁面
【正文】 并為(3)正定性，且(4)許瓦茲不等式13向量的長度定義： 維行向量的長度指的是實數(當時，稱為單位向量)性質：(1)非負性，且(2) 齊次性 (3)三角不等式14向量的正交設，如果，則稱與正交，記為15正交子空間取定，考慮在中與此正交的所有向量全體，稱為在中的正交子空間16正交向量組如果一個同維向量組中不含零向量，且其中任意兩個向量兩兩正交，則稱這個向量組為正交向量組17標準正交向量組若正交向量組中的每個向量都是單位向量，則稱這個向量組為標準正交向量組結論：18正交矩陣性質：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩陣的特征值只能是拓展：(1)兩個同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣(2)階實方陣正交的個行(列)向量是標準正交向量組19矩陣的秩定義：矩陣經過有限次初等變換后，非零行的行數就是矩陣的秩，記作結論：(1)初等變換不改變矩陣的秩(行秩=列秩)(2)(3)(4) (5) 可逆；可逆20線性相關定義：設是個維向量，如果存在個不全為零的數，使得，則稱向量組線性相關，稱為相關系數。否則，稱向量組線性無關。結論與判斷：(1)單獨一個零向量線性相關，單獨一個非零向量線性無關(2)兩個向量線性相關對應分量成比例(3)部分相關整體必然相關；整體無關部分必然無關(4)無關接長仍然無關；相關截短仍然相關(5) 任意個維向量必相關(個數大于維數就相關)(6)設向量組可以由線性表示，且，則必線性相關(7)設向量組可以由線性表示，且線性無關，則21特征值為的特征值，(有多個特征值)結論：(1)的特征值為(2)的特征值為(3)的特征值為(4)的特征值為(有多個特征值)(5) (1) (跡) (主對角線上的元素之和)(6)(7) 正交矩陣的特征值只能是22特征向量為的特征向量，為的特征向量(1)也是的屬于的特征向量(2)如果都是的屬于的特征向量，且當時，也是的屬于的特征向量(3)設，是方陣的兩個不同特征值，是的分別屬于，的特征向量，則不是的特征向量23二次型定義：此處省略個字二次型的秩任意一個二次型都可以表示成矩陣形式，若二次型，則矩陣的秩稱為二次型的秩，記為秩24二次型的標準形對任意一個實系數的元二次型，總可以通過非退化線性變換化為變量的平方和形式，即則稱為二次型的標準形，其中是矩陣的秩25二次型的規(guī)范形當標準形的系數是時，即稱為二次型的規(guī)范形26慣性定理無論選取怎樣的非退化變換，將二次型化為規(guī)范形時，其正項的個數，負項的個數都是唯一確定的，這里稱為正慣性指數，稱為負慣性指數，稱為符號差27 正定二次型(正定矩陣)定義：如果實二次型對任意一組不全為0的實數，都有，則稱該二次型為正定二次型，正定二次型的矩陣稱為正定矩陣 (合同變換不改變二次型的正定性)實二次型正定的5個充要條件：(1)的所有順序主子式全大于0(2)的特征值全大于0(3)正慣性指數為(4)存在可逆矩陣,使(5)存在正交矩陣，使= 《線性代數》知識點遞進歸納2. 兩個矩陣與間的幾個特性等價性相似性(~)合同性 (另外：矩陣本身還有正交性) 歷年?？伎键c編號內容編號內容1行列式的計算(方陣行列式、伴隨矩陣行列式、逆矩陣的行列式)11求特征值與特征向量2矩陣的乘法運算12向量的內積3求伴隨矩陣13向量的正交4求逆矩陣(最好用初等變換)14單位向量及向量長度5求矩陣、向量組、二次型的秩15將方陣化為相似對角形6解矩陣方程16二次型的矩陣7判斷方程組解的情況17二次型的秩8解線性方程組(齊次或者非齊次)18化二次型為標準形9判斷向量組的線性相關、線性無關性19化二次型為規(guī)范形10求極大線性無關組20正定二次型26高崚嶒編
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