自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)-在線瀏覽
2024-10-03 14:33本頁面
【正文】 則稱是的線性組合，或稱可用線性表出(或線性表示)。否則，稱向量組線性無關(guān)。是的特征向量，也是的特征向量2. 若方陣的個特征值是，則有(1) (主對角線上的元素之和)(2)二、矩陣的相似 (對比: 矩陣的等價，矩陣的合同)定義：設(shè)和是兩個階方陣，如果存在某個階可逆矩陣，使得則稱和是相似的，記為同階方陣之間的相似關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性： (2)對稱性： 若,則(3)傳遞性： 若,則 三、定理：相似矩陣必有相同的特征值，因而必有相同的特征多項(xiàng)式,相同的跡和相同的行列式四、定理： 階方陣相似于對角矩陣有個線性無關(guān)的特征向量五、矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 定義：若對于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對角矩陣，則稱對角矩陣為的相似標(biāo)準(zhǔn)形六、定理：設(shè)和分別是階方陣的屬于兩個不同特征值和的特征向量，則和必線性無關(guān)七、兩個矩陣相似的結(jié)論 () 3.4. 5. 八、施密特正交化方法 將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化 第一步：先正交化 ， ，第二步：標(biāo)準(zhǔn)化(單位化) ， 比喻：新領(lǐng)導(dǎo)對應(yīng)同級別的老領(lǐng)導(dǎo)，同時新領(lǐng)導(dǎo)考慮到自己的部下九、正交矩陣十、實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形第六章 二次型一、實(shí)二次型二、二次型的矩陣三、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形四、相似標(biāo)準(zhǔn)形五、合同矩陣六、慣性定理 (正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差)七、順序主子式八、正定矩陣(負(fù)定矩陣、半負(fù)定矩陣、不定矩陣)主要考點(diǎn)匯總編號概念定義性質(zhì)、結(jié)論及其拓展1行列式定義省略行列式為階，或者都是階矩陣結(jié)論：2轉(zhuǎn)置矩陣定義省略常用運(yùn)算性質(zhì)：(1)(2)(交換順序)(3)拓展：(1),若可逆，則必然可逆(2)時，稱為正交矩陣(若正交，則必然正交)3逆矩陣定義：都是階矩陣，滿足,則稱互為逆矩陣，記作或者注意：或?yàn)闈M秩可逆常用運(yùn)算性質(zhì)：(1)(2)(交換順序)(3)拓展：(1)(2)的特征值為則 的特征值為4矩陣的等價定義：若矩陣經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)?，則稱與等價，記為 (即)矩陣之間的等價關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性 (2)對稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 5矩陣的相似定義：設(shè)和是兩個階方陣，如果存在某個階可逆矩陣，使得則稱和是相似的，記為(即)同階方陣之間的相似關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性 (2)對稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 拓展：注意：反過來不成立即若，與不一定相似3.(跡)4. (同時可逆或者同時不可逆)5. ；；()=秩()6矩陣的合同定義：設(shè)和是兩個階方陣，如果存在某個階可逆矩陣，使得則稱和是合同的(合同于)，記為(即)性質(zhì)：(1)反身性 (2)對稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 注意：合同變換不改變二次型的正定性7正交矩陣性質(zhì)：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩陣的特征值只能是拓展：(1)兩個同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣(2)階實(shí)方陣正交，則的個行(列)向量是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組8等價標(biāo)準(zhǔn)形定理 ： 對于任意一個矩陣，一定存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 稱為的等價標(biāo)準(zhǔn)形9相似標(biāo)準(zhǔn)形定義：若對于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對角矩陣，則稱對角矩陣為的相似標(biāo)準(zhǔn)形性質(zhì)： 與的特征值完全相同，就是矩陣的主元拓展：(1)任意一個無重特征值的方陣一定相似于對角矩陣(2)對角元兩兩互異的三角矩陣一定相似于對角矩陣10相似對角化定義：若階矩陣可與對角陣相似，則稱是可相似對角化的，簡稱可對角化可對角化的充要條件：(1)有個不同的特征值(2)有個線性無關(guān)的特征向量(3)對的任一特征根，其重?cái)?shù)與對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量相同，即可對角化時的基本結(jié)論：(4) 屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)11實(shí)對稱矩陣性質(zhì)及基本結(jié)論：(1) 的特征值為實(shí)數(shù)，且的特征向量為 實(shí)向量(2) 的不同特征值對應(yīng)的特征向量 必定正交(3) 一定有個線性無關(guān)的特征向量，從而相似于對角矩陣，且存在正交矩陣，使得，其中為的特征值12向量內(nèi)積定義：兩個維行向量，的內(nèi)積為(本質(zhì)：實(shí)數(shù))結(jié)論：(1) 兩個維行向量，的內(nèi)積為 (2) 兩個維列向量，的內(nèi)積為性質(zhì)：(1)對稱性(2
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