自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)(編輯修改稿)
2024-09-19 14:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 兩個(gè)條件的矩陣稱為階梯形矩陣(1) 如果存在全零行(元素全為零的行)，則全零行都位于矩陣中非零行(元素不全為零的行)的下方(2) 各非零行中從左邊數(shù)起的第一個(gè)非零元素(稱為主元)的列指標(biāo)隨著行指標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大(注意：最直觀的判斷，從上到下從左到右，在非零元素的下方劃橫線，所有的線連接起來后看是否象個(gè)階梯 )二十六、行最簡形矩陣定義：將階梯形矩陣進(jìn)一步進(jìn)行初等變換，將主元全化為1，且這些主元所在列的其他 元素全化為零，得到的階梯形矩陣稱為的行最簡形矩陣(比喻：每一行非0的排頭兵都是1，1是老大，其所在列的其他元素都只能是0)二十七、子式與非零子式(1)子式: 在矩陣中，任意取定行和列，.位于這些行與列交叉處的個(gè)元素按原來的相對順序排成的階行列式稱為的一個(gè)階子式。(2)非零子式：對于確定的來說，在矩陣中，階子式的總個(gè)數(shù)為。把中對應(yīng)不同的的所有階子式放在一起，可以分成兩大類：值與零的與值不為零的。值不為零的子式稱為非零子式二十八、矩陣的秩定義：在矩陣中,非零子式的最高階數(shù)稱為的秩，記為( 注意：實(shí)際在求的秩時(shí)，只需要求出的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)就行了，簡單易行。=階梯形矩陣中非零行的行數(shù) ，在方程中反映了有效方程的個(gè)數(shù))定理：對矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩二十九、線性方程組的解定理：元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩推論1：含有個(gè)方程的元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是，且當(dāng)它有非零解時(shí)，必有無窮多個(gè)非零解。推論2 若方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則方程組必有非零解三十、關(guān)于方程組的求解 方陣可逆，即存在1. 方程組 方法：先求出，計(jì)算出即可2. 方程組 方法：先求出，計(jì)算出即可 第三章 向量空間 一、向量的概念定義：由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，數(shù)稱為該向量的第個(gè)分量。向量的維數(shù)指的是向量中的分量個(gè)數(shù)(1)行向量：(2)列向量：(3)零向量：所有分量都是零的維向量稱為維零向量，記作注意：不同維數(shù)的向量是不相等的(4)負(fù)向量：把向量的各個(gè)分量都取相反數(shù)組成的向量，稱為的負(fù)向量，記為(5)相等向量：如果維向量與維向量的對應(yīng)分量都相等，即，則稱向量與相等，記作二、向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算)1. 加法：設(shè)維向量，則和的和是向量 2．?dāng)?shù)乘：設(shè)是一個(gè)維向量，為一個(gè)數(shù)，則數(shù)與的乘積稱為數(shù)乘向量，簡稱為數(shù)乘，記作，并且三、線性運(yùn)算的8條運(yùn)算律：設(shè)都是維向量，是數(shù)，則(1) 。 (加法交換律) (2) 。 (加法結(jié)合律)(3) 。 (4) 。(5) 。 (6) 。 (數(shù)乘分配律)(7) 。 (數(shù)乘分配律) (8) ． (數(shù)乘與向量結(jié)合律)主線：線性組合線性表示線性相關(guān)(無關(guān))三、向量的線性組合定義：設(shè)是一組維向量，是一組常數(shù)，則稱 為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為該線性組合的組合系數(shù)。(比喻：就是找一根繩子，把個(gè)珍珠串成一根項(xiàng)鏈) (1)若一個(gè)維向量可以表示成,則稱是的線性組合，或稱可用線性表出(或線性表示)。仍稱為組合系數(shù)，或表出系數(shù) (2)顯然，零向量可以用任意一組同維數(shù)的向量線性表出: ,，稱它為零向量的平凡表出式：(這說明，表出系數(shù)可以全為0，表出系數(shù)全為0時(shí)被表出的向量必是零向量)四、向量組若干個(gè)同維數(shù)的向量所組成的集合叫做向量組．個(gè)向量組成的向量組可記為或(比喻：向量組就好比是個(gè)俱樂部，比如有三套房子的人的俱樂部，每個(gè)人都是3維的，3個(gè)坐標(biāo)分別是第1套房，第2套房，第3套房)五、線性相關(guān)與線性無關(guān)定義：設(shè)是個(gè)維向量，如果存在個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù)。否則，稱向量組線性無關(guān)。 (比喻：線性相關(guān)好比存在親屬關(guān)系，可以互相融合，最終出現(xiàn)0行)第四章 線性方程組一、關(guān)于方程組的解(每年必考內(nèi)容)(是維列向量，是維常數(shù)列，顯然變量個(gè)數(shù)為)(1)時(shí)有解①時(shí)，方程組有唯一解②時(shí)，方程組有無窮多解(2) 時(shí)無解(是維列向量，0是維常數(shù)列，顯然變量個(gè)數(shù)為)因?yàn)檫@時(shí)滿足，所以方程組必然有解(1)時(shí)有解①時(shí)，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時(shí)，方程組有無窮多解(必有非零解)特殊情況： (此時(shí)是方陣)(是維列向量，0是維常數(shù)列，顯然變量個(gè)數(shù)為)因?yàn)檫@時(shí)滿足，所以方程組必然有解(1)時(shí)有解①時(shí)，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時(shí)，方程組有無窮多解(必有非零解)簡化結(jié)論：是階方陣時(shí)，第五章 特征值與特征向量一、
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