自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)(編輯修改稿)
2024-09-19 14:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 兩個條件的矩陣稱為階梯形矩陣(1) 如果存在全零行(元素全為零的行)，則全零行都位于矩陣中非零行(元素不全為零的行)的下方(2) 各非零行中從左邊數(shù)起的第一個非零元素(稱為主元)的列指標隨著行指標的遞增而嚴格增大(注意：最直觀的判斷，從上到下從左到右，在非零元素的下方劃橫線，所有的線連接起來后看是否象個階梯 )二十六、行最簡形矩陣定義：將階梯形矩陣進一步進行初等變換，將主元全化為1，且這些主元所在列的其他 元素全化為零，得到的階梯形矩陣稱為的行最簡形矩陣(比喻：每一行非0的排頭兵都是1，1是老大，其所在列的其他元素都只能是0)二十七、子式與非零子式(1)子式: 在矩陣中，任意取定行和列，.位于這些行與列交叉處的個元素按原來的相對順序排成的階行列式稱為的一個階子式。(2)非零子式：對于確定的來說，在矩陣中，階子式的總個數(shù)為。把中對應(yīng)不同的的所有階子式放在一起，可以分成兩大類：值與零的與值不為零的。值不為零的子式稱為非零子式二十八、矩陣的秩定義：在矩陣中,非零子式的最高階數(shù)稱為的秩，記為( 注意：實際在求的秩時，只需要求出的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)就行了，簡單易行。=階梯形矩陣中非零行的行數(shù) ，在方程中反映了有效方程的個數(shù))定理：對矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩二十九、線性方程組的解定理：元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩推論1：含有個方程的元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是，且當(dāng)它有非零解時，必有無窮多個非零解。推論2 若方程組中方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則方程組必有非零解三十、關(guān)于方程組的求解 方陣可逆，即存在1. 方程組 方法：先求出，計算出即可2. 方程組 方法：先求出，計算出即可 第三章 向量空間 一、向量的概念定義：由個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個維向量，數(shù)稱為該向量的第個分量。向量的維數(shù)指的是向量中的分量個數(shù)(1)行向量：(2)列向量：(3)零向量：所有分量都是零的維向量稱為維零向量，記作注意：不同維數(shù)的向量是不相等的(4)負向量：把向量的各個分量都取相反數(shù)組成的向量，稱為的負向量，記為(5)相等向量：如果維向量與維向量的對應(yīng)分量都相等，即，則稱向量與相等，記作二、向量的運算(線性運算)1. 加法：設(shè)維向量，則和的和是向量 2．?dāng)?shù)乘：設(shè)是一個維向量，為一個數(shù)，則數(shù)與的乘積稱為數(shù)乘向量，簡稱為數(shù)乘，記作，并且三、線性運算的8條運算律：設(shè)都是維向量，是數(shù)，則(1) 。 (加法交換律) (2) 。 (加法結(jié)合律)(3) 。 (4) 。(5) 。 (6) 。 (數(shù)乘分配律)(7) 。 (數(shù)乘分配律) (8) ． (數(shù)乘與向量結(jié)合律)主線：線性組合線性表示線性相關(guān)(無關(guān))三、向量的線性組合定義：設(shè)是一組維向量，是一組常數(shù)，則稱 為的一個線性組合，常數(shù)稱為該線性組合的組合系數(shù)。(比喻：就是找一根繩子，把個珍珠串成一根項鏈) (1)若一個維向量可以表示成,則稱是的線性組合，或稱可用線性表出(或線性表示)。仍稱為組合系數(shù)，或表出系數(shù) (2)顯然，零向量可以用任意一組同維數(shù)的向量線性表出: ,，稱它為零向量的平凡表出式：(這說明，表出系數(shù)可以全為0，表出系數(shù)全為0時被表出的向量必是零向量)四、向量組若干個同維數(shù)的向量所組成的集合叫做向量組．個向量組成的向量組可記為或(比喻：向量組就好比是個俱樂部，比如有三套房子的人的俱樂部，每個人都是3維的，3個坐標分別是第1套房，第2套房，第3套房)五、線性相關(guān)與線性無關(guān)定義：設(shè)是個維向量，如果存在個不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù)。否則，稱向量組線性無關(guān)。 (比喻：線性相關(guān)好比存在親屬關(guān)系，可以互相融合，最終出現(xiàn)0行)第四章 線性方程組一、關(guān)于方程組的解(每年必考內(nèi)容)(是維列向量，是維常數(shù)列，顯然變量個數(shù)為)(1)時有解①時，方程組有唯一解②時，方程組有無窮多解(2) 時無解(是維列向量，0是維常數(shù)列，顯然變量個數(shù)為)因為這時滿足，所以方程組必然有解(1)時有解①時，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時，方程組有無窮多解(必有非零解)特殊情況： (此時是方陣)(是維列向量，0是維常數(shù)列，顯然變量個數(shù)為)因為這時滿足，所以方程組必然有解(1)時有解①時，方程組有唯一解(唯一解即零解，所有變量都為零,)②時，方程組有無窮多解(必有非零解)簡化結(jié)論：是階方陣時，第五章 特征值與特征向量一、
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