自考線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)-展示頁(yè)
2024-09-07 14:33本頁(yè)面
【正文】 方法一：,其中 為矩陣的伴隨矩陣，為矩陣的行列式(缺點(diǎn)：矩陣階數(shù)為4階以上時(shí)，計(jì)算量太大，使用不方便)方法二：利用初等行變換法將原來(lái)矩陣化為單位矩陣即可，具體步驟：主要是對(duì)豎線左邊的矩陣施行初等變換,首先要調(diào)兵遣將，實(shí)現(xiàn)第一步:從上到下，從左到右，化為0元素，同時(shí)實(shí)現(xiàn)，變?yōu)樯先蔷仃?；第二?從下到上，從右到左，化為0元素，在每一步中，及時(shí)實(shí)現(xiàn)主對(duì)角線上的元素；此時(shí)豎線右邊的矩陣 就是我們要求的.十七、分塊矩陣對(duì)于同一個(gè)矩陣可以有不同的分快法。對(duì)于任意一個(gè)矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法(1)(按行分塊)行向量表示法，其中(2)(按列分塊)列向量表示法，其中十八、4種最常用的分塊矩陣的運(yùn)算把矩陣和作同樣的分塊：, , 其中，的行數(shù)=的行數(shù)；的列數(shù)=的列數(shù)，則 數(shù)與分塊矩陣的乘積為 (矩陣中所有元素都與相乘)設(shè)，則其轉(zhuǎn)置矩陣為，式中 (內(nèi)外一起轉(zhuǎn))方陣地特殊分塊矩陣主要有以下三類(lèi):(凡空白處都是零塊)(1)形如的分塊矩陣稱為分塊對(duì)角矩陣或準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中均為方陣小結(jié)：若都是可逆矩陣，則分塊對(duì)角矩陣可逆，且= (2)兩個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣的乘積，設(shè)與是同階方陣，則=若對(duì)某個(gè)，與不是同階方陣，則上面的兩個(gè)分塊對(duì)角矩陣不能相乘十九、矩陣的初等變換定義：對(duì)一個(gè)矩陣施行以下三種類(lèi)型的變換，稱為矩陣的初等行(列)變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換 (用“”連結(jié)變換前后的矩陣)(1)交換的某兩行(列)(2)用一個(gè)非零的數(shù)乘的某一行(列)(3)把中某一行(列)的倍加到另一行(列)上 二十、矩陣的等價(jià) (注意：后面還有矩陣的相似，矩陣的合同)定義：若矩陣經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)?，則稱與等價(jià)，記為矩陣之間的等價(jià)關(guān)系有以下三條性質(zhì)(1)反身性 (2)對(duì)稱性 若,則(3)傳遞性 若,則 (對(duì)比：矩陣的相似 ，定義為存在可逆矩陣，使得) 二十二、初等矩陣定義： 由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣 (1)交換任意兩行(列)，(2)用一個(gè)非零的數(shù)乘的某一行(列) ，(3)把中某一行(列)的倍加到另一行(列)上 二十四、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 (注意：后面還有矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形)定義 : 任意一個(gè)矩陣，一定可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換和初等列變換化成如下形式的矩陣：,這是一個(gè)分塊矩陣，其中為階單位矩陣，而其余子塊都是零塊矩陣.稱為的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形(對(duì)比：相似標(biāo)準(zhǔn)形，定義為對(duì)于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角矩陣，則稱對(duì)角矩陣為的相似標(biāo)準(zhǔn)形) 定理 ： 對(duì)于任意一個(gè)矩陣，一定存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 二十五、階梯形矩陣定義：滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為階梯形矩陣(1) 如果存在全零行(元素全為零的行)，則全零行都位于矩陣中非零行(元素不全為零的行)的下方(2) 各非零行中從左邊數(shù)起的第一個(gè)非零元素(稱為主元)的列指標(biāo)隨著行指標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大(注意：最直觀的判斷，從上到下從左到右，在非零元素的下方劃?rùn)M線，所有的線連接起來(lái)后看是否象個(gè)階梯 )二十六、行最簡(jiǎn)形矩陣定義：將階梯形矩陣進(jìn)一步進(jìn)行初等變換，將主元全化為1，且這些主元所在列的其他 元素全化為零，得到的階梯形矩陣稱為的行最簡(jiǎn)形矩陣(比喻：每一行非0的排頭兵都是1，1是老大，其所在列的其他元素都只能是0)二十七、子式與非零子式(1)子式: 在矩陣中，任意取定行和列，.位于這些行與列交叉處的個(gè)元素按原來(lái)的相對(duì)順序排成的階行列式稱為的一個(gè)階子式。把中對(duì)應(yīng)不同的的所有階子式放在一起，可以分成兩大類(lèi)：值與零的與值不為零的。=階梯形矩陣中非零行的行數(shù) ，在方程中反映了有效方程的個(gè)數(shù))定理：對(duì)矩陣施行初等變換，不改變矩陣的秩二十九、線性方程組的解定理：元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩推論1：含有個(gè)方程的元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是，且當(dāng)它有非零解時(shí)，必有無(wú)窮多個(gè)非零解。向量的維數(shù)指的是向量中的分量個(gè)數(shù)(1)行向量：(2)列向量：(3)零向量：所有分量都是零的維向量稱為維零向量，記作注意：不同維數(shù)的向量是不相等的(4)負(fù)向量：把向量的各個(gè)分量都取相反數(shù)組成的向量，稱為的負(fù)向量，記為(5)相等向量：如果維向量與維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即，則稱向量與相等，記作二、向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算)1. 加法：設(shè)維向量，則和的和是向量 2．?dāng)?shù)乘：設(shè)是一個(gè)維向量，為一個(gè)數(shù)，則數(shù)與的乘積稱為數(shù)乘向量，簡(jiǎn)稱為數(shù)乘，記作，并且三、線性運(yùn)算的8條運(yùn)算律：設(shè)都是維向量，是數(shù)，則(1) 。 (加法結(jié)合律)(3) 。(5) 。 (數(shù)乘分配律)(7) 。(比喻：就是找一根繩子，把個(gè)珍珠串成一根項(xiàng)鏈) (1)若一個(gè)維向量可以表示成,
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