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高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第3章1第2課時(shí)函數(shù)的極值課時(shí)作業(yè)(參考版)

2024-12-09 06:27本頁(yè)面
  

【正文】 山東省菏澤市期中 )已知函數(shù) f(x)= 12x2+ alnx. (1)若 a=- 1,求函數(shù) f(x)的極值,并指出是極大值還是極小值; (2)若 a= 1,求證:在區(qū)間 [1,+ ∞) 上,函數(shù) f(x)的圖象在函數(shù) g(x)= 23x3 的圖象的下方. [解析 ] (1)由于函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0,+ ∞) , 當(dāng) a=- 1時(shí), f ′( x)= x- 1x= x+ x-x , 令 f ′( x)= 0得 x= 1或 x=- 1(舍去 ), 當(dāng) x∈ (0,1)時(shí), f ′( x)0,因此函數(shù) f(x)在 (0,1)上單調(diào)遞減, 當(dāng) x∈ (1,+ ∞) 時(shí), f ′( x)0,因此函數(shù) f(x)在 (1,+ ∞) 上單調(diào)遞增, 則 x= 1是 f(x)的極小值點(diǎn), 所以 f(x)在 x= 1處取得極小值為 f(1)= 12. (2)證明:設(shè) F(x)= f(x)- g(x)= 12x2+ lnx- 23x3, 則 F′( x)= x+ 1x- 2x2= - 2x3+ x2+ 1x = - x- x2+ x+x , 當(dāng) x1時(shí), F′( x)0, 故 f(x)在區(qū)間 [1,+ ∞) 上單調(diào)遞減, 又 F(1)=- 160, ∴ 在區(qū)間 [1,+ ∞) 上, F(x)0恒成立, 即 f(x)g(x)恒成立. 因此,當(dāng) a= 1時(shí),在區(qū)間 [1,+ ∞) 上,函數(shù) f(x)的圖象在函數(shù) g(x)圖象的下方. s 。 f(3)0. 對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題要注意和對(duì)應(yīng)方程的根及函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái),當(dāng)一個(gè)函數(shù)不能直接畫(huà)出圖象時(shí),要有求導(dǎo)的意識(shí)來(lái)探究一下函數(shù)的基本性質(zhì)然后再畫(huà)草圖. 三、解答題 f(x)= alnx+ 12x+ 32x+ 1,其中 a∈ R,曲線 y= f(x)在點(diǎn) (1, f(1))處的切線垂直于 y軸. (1)求 a的值; (2)求函數(shù) f(x)的極值. [分析 ] (1)對(duì) f(x)求導(dǎo),運(yùn)用 f′(1) = 0求出 a 的值, (2)由 f′ (x)= 0 解得 x值,結(jié)合函數(shù)定義域,討論在各區(qū)間上 f′( x)的符號(hào),從而確定極值. [解析 ] (1)因 f(x)= alnx+ 12x+ 32x+ 1,故 f′( x)= ax- 12x2+ 32. 由于曲線 y= f(x)在點(diǎn) (1, f(1))處的切線垂直于 y 軸,故該切線斜率為 0,即 f′(1)= 0,從而 a- 12+ 32= 0,解得 a=- 1. (2)由 (1)知 f(x)=- lnx+ 12x+ 32x+ 1(x0), f′( x)=- 1x- 12x2+ 32 = 3x2- 2x- 12x2 = x+ x-
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