高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第3章1第2課時(shí)函數(shù)的極值課時(shí)作業(yè)(參考版)
2024-12-09 06:27本頁(yè)面
【正文】 山東省菏澤市期中 )已知函數(shù) f(x)＝ 12x2＋ alnx. (1)若 a＝－ 1，求函數(shù) f(x)的極值，并指出是極大值還是極小值； (2)若 a＝ 1，求證：在區(qū)間 [1，＋ ∞) 上，函數(shù) f(x)的圖象在函數(shù) g(x)＝ 23x3 的圖象的下方． [解析 ] (1)由于函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0，＋ ∞) ， 當(dāng) a＝－ 1時(shí)， f ′( x)＝ x－ 1x＝ x＋ x－x ， 令 f ′( x)＝ 0得 x＝ 1或 x＝－ 1(舍去 )， 當(dāng) x∈ (0,1)時(shí)， f ′( x)0，因此函數(shù) f(x)在 (0,1)上單調(diào)遞減， 當(dāng) x∈ (1，＋ ∞) 時(shí)， f ′( x)0，因此函數(shù) f(x)在 (1，＋ ∞) 上單調(diào)遞增， 則 x＝ 1是 f(x)的極小值點(diǎn)， 所以 f(x)在 x＝ 1處取得極小值為 f(1)＝ 12. (2)證明：設(shè) F(x)＝ f(x)－ g(x)＝ 12x2＋ lnx－ 23x3， 則 F′( x)＝ x＋ 1x－ 2x2＝ － 2x3＋ x2＋ 1x ＝ － x－ x2＋ x＋x ， 當(dāng) x1時(shí)， F′( x)0， 故 f(x)在區(qū)間 [1，＋ ∞) 上單調(diào)遞減， 又 F(1)＝－ 160， ∴ 在區(qū)間 [1，＋ ∞) 上， F(x)0恒成立， 即 f(x)g(x)恒成立． 因此，當(dāng) a＝ 1時(shí)，在區(qū)間 [1，＋ ∞) 上，函數(shù) f(x)的圖象在函數(shù) g(x)圖象的下方． s 。 f(3)0. 對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題要注意和對(duì)應(yīng)方程的根及函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)一個(gè)函數(shù)不能直接畫出圖象時(shí)，要有求導(dǎo)的意識(shí)來(lái)探究一下函數(shù)的基本性質(zhì)然后再畫草圖． 三、解答題 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，其中 a∈ R，曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y軸． (1)求 a的值； (2)求函數(shù) f(x)的極值． [分析 ] (1)對(duì) f(x)求導(dǎo)，運(yùn)用 f′(1) ＝ 0求出 a 的值， (2)由 f′ (x)＝ 0 解得 x值，結(jié)合函數(shù)定義域，討論在各區(qū)間上 f′( x)的符號(hào)，從而確定極值． [解析 ] (1)因 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，故 f′( x)＝ ax－ 12x2＋ 32. 由于曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y 軸，故該切線斜率為 0，即 f′(1)＝ 0，從而 a－ 12＋ 32＝ 0，解得 a＝－ 1. (2)由 (1)知 f(x)＝－ lnx＋ 12x＋ 32x＋ 1(x0)， f′( x)＝－ 1x－ 12x2＋ 32 ＝ 3x2－ 2x－ 12x2 ＝ x＋ x－
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