高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第3章1《第2課時(shí) 函數(shù)的極值》課時(shí)作業(yè)(文件)
【正文】 來探究一下函數(shù)的基本性質(zhì)然后再畫草圖． 三、解答題 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，其中 a∈ R，曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y軸． (1)求 a的值； (2)求函數(shù) f(x)的極值． [分析 ] (1)對(duì) f(x)求導(dǎo)，運(yùn)用 f′(1) ＝ 0求出 a 的值， (2)由 f′ (x)＝ 0 解得 x值，結(jié)合函數(shù)定義域，討論在各區(qū)間上 f′( x)的符號(hào)，從而確定極值． [解析 ] (1)因 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，故 f′( x)＝ ax－ 12x2＋ 32. 由于曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y 軸，故該切線斜率為 0，即 f′(1)＝ 0，從而 a－ 12＋ 32＝ 0，解得 a＝－ 1. (2)由 (1)知 f(x)＝－ lnx＋ 12x＋ 32x＋ 1(x0)， f′( x)＝－ 1x－ 12x2＋ 32 ＝ 3x2－ 2x－ 12x2 ＝ x＋ x－2x2 . 令 f′( x)＝ 0，解得 x1＝ 1， x2＝－ 13(因 x2＝－ 13不在定義域內(nèi)，舍去 )． 當(dāng) x∈ (0,1)時(shí)， f′( x)0，故 f(x)在 (0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ (1，＋ ∞) 時(shí)， f′( x)0，故 f(x)在 (1，＋ ∞) 上為增 函數(shù)． 故 f(x)在 x＝ 1處取得極小值 f(1)＝ 3. [點(diǎn)評(píng) ] 本題通過對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，解決了常見的斜率問 題，極值問題，題目簡單，方法常規(guī)，但本題容易忽視函數(shù)的定義域，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。 a. 當(dāng) x∈ (－ ∞ ，－ a)時(shí)， f′( x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng) x∈ (－ a， a)時(shí)， f′( x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng) x∈ ( a，＋ ∞) 時(shí)， f′( x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增． f(x)的增區(qū)間 (－ ∞ ，－ a)， ( a，＋ ∞) ，減區(qū)間 (－ a， a)， 此時(shí) x＝－ a是 f(x)的極大值點(diǎn)， x＝ a是 f(x)的極小值點(diǎn) . 一、選擇題 1．已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ bx2＋ c，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù) f(x)的極小值是( ) A． a＋ b＋ c B． 8a＋ 4b＋ c C． 3a＋ 2b D． c [答案 ] D [解析 ] 由 f′( x)的圖像可知 x∈ (－ ∞ ， 0)∪ (2，＋ ∞) 時(shí)， f′( x)0； x∈ (0,2)時(shí)，f′( x)0 ∴ f(x)在 (－ ∞ ， 0)和 (2，＋ ∞) 上為減函數(shù)，在 (0,2)上為增函數(shù)． ∴ x＝ 0時(shí)， f(x)取到極小值為 f(0
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