高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第3章1第2課時函數(shù)的極值課時作業(yè)(完整版)
【正文】 三、解答題 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，其中 a∈ R，曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y軸． (1)求 a的值； (2)求函數(shù) f(x)的極值． [分析 ] (1)對 f(x)求導(dǎo)，運(yùn)用 f′(1) ＝ 0求出 a 的值， (2)由 f′ (x)＝ 0 解得 x值，結(jié)合函數(shù)定義域，討論在各區(qū)間上 f′( x)的符號，從而確定極值． [解析 ] (1)因 f(x)＝ alnx＋ 12x＋ 32x＋ 1，故 f′( x)＝ ax－ 12x2＋ 32. 由于曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) (1， f(1))處的切線垂直于 y 軸，故該切線斜率為 0，即 f′(1)＝ 0，從而 a－ 12＋ 32＝ 0，解得 a＝－ 1. (2)由 (1)知 f(x)＝－ lnx＋ 12x＋ 32x＋ 1(x0)， f′( x)＝－ 1x－ 12x2＋ 32 ＝ 3x2－ 2x－ 12x2 ＝ x＋ x－2x2 . 令 f′( x)＝ 0，解得 x1＝ 1， x2＝－ 13(因 x2＝－ 13不在定義域內(nèi)，舍去 )． 當(dāng) x∈ (0,1)時， f′( x)0，故 f(x)在 (0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ (1，＋ ∞) 時， f′( x)0，故 f(x)在 (1，＋ ∞) 上為增 函數(shù)． 故 f(x)在 x＝ 1處取得極小值 f(1)＝ 3. [點(diǎn)評 ] 本題通過對導(dǎo)數(shù)的考查，解決了常見的斜率問 題，極值問題，題目簡單，方法常規(guī)，但本題容易忽視函數(shù)的定義域，從而導(dǎo)致出錯。 西川中學(xué)高二期中 )已知 f(x)＝ x3＋ ax2＋ (a＋ 6)x＋ 1有極大值和極小值，則a的取值范圍是 ( ) A．－ 1a2 B．－ 3a6 C． a－ 3或 a6 D． a－ 1或 a2 [答案 ] C [解析 ] f ′( x)＝ 3x2＋ 2ax＋ a＋ 6， ∵ f(x)有極大值與極小值 ， ∴ f ′( x)＝ 0有兩 不等實(shí)根， ∴ Δ ＝ 4a2－ 12(a＋ 6)0， ∴ a－ 3或 a6. 二、填空題 6．函數(shù) f(x)＝ 2x3－ 3x2的極大值等于 ________，極小值等于 ________． [答案 ] 0 － 1 [解析 ] f′( x)＝ 6x(x－ 1)，令 f′( x)＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 1. 當(dāng) x變化時， f′( x)， f(x)的變化情況如下： x (－ ∞ ， 0) 0 (0,1) 1 (1，＋ ∞) f′( x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 所以當(dāng) x＝ 0時有極大值 f(0)＝ 0，當(dāng) x＝ 1時有極小值 f(1)＝－
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