人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章11第2課時《瞬時變化率與導數(shù)》(文件)
【正文】 為f ? x2? － f ? x1?x2－ x1， 若從 x2變?yōu)?x1，平均變化率為f ? x1? － f ? x2?x1－ x2， 而f ? x2? － f ? x1?x2－ x1＝f ? x1? － f ? x2?x1－ x2. 一、瞬時速度 作變速直線運動的物體在不同時刻的速度是不同的，物體在某一時刻的速度叫瞬時速度． 設物體運動路程與時間的關系是 s ＝ f ( t ) ，當 Δ t趨近于 0 時，函數(shù) f ( t ) 在 t0到 t0＋ Δ t 這段時間內的平均變化率Δ sΔ t＝f ? t0＋ Δ t ? － f ? t0?Δ t趨近于常數(shù)，我們把這個常數(shù)稱為 t0時刻的瞬時速度． 對瞬時速度的理解要注意以下兩點： ( 1 ) 在平均變化率Δ sΔ t中， Δ t 趨于 0 是指時間間隔 Δ t 越來越短，能越過任意小的時間間隔，但始終不能為 0. ( 2 ) Δ t ， Δ s 在變化中都趨于 0 ，其比值Δ sΔ t趨近于一個確定的常數(shù)，這時此常數(shù)才稱為 t0時刻的瞬時速度． 以初速度 v 0 ( v 0 0 ) 垂直上拋的物體， t 秒時的高度為 s ( t ) ＝v 0 t －12 gt2 ，則物體在 t0 時刻的瞬時速度為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] v 0 － gt 0 [ 解析 ] 因為 Δ s ＝ v0( t0＋ Δ t ) －12g ( t0＋ Δ t )2－ ( v0t0－12gt20) ＝ ( v0－ gt0)Δ t－12g (Δ t )2， 所以Δ sΔ t＝ v0－ gt0－12g Δ t， 所以當 Δ t 無限趨近于 0 時，Δ sΔ t無限趨近于 v0－ gt0， 故物體在時刻 t0的瞬時速度為 v0－ gt0. 二、瞬時 變化率與導數(shù) 設函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x0附近有定義，當自變量在 x ＝ x0附近的改變量為 Δ x 時，函數(shù)值相應地改變 Δ y ＝ f ( x0＋ Δ x ) － f ( x0) ． 如果當 Δ x 趨近于 0 時，平均變化率Δ yΔ x＝f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x趨近于一個常數(shù) l ，那么常數(shù) l 稱為函數(shù) f ( x ) 在點 x0處的瞬時變化率．當 Δ x 趨近于 0 時，f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x趨近于常數(shù) l，可以用符號 “→” ( 讀作 “ 趨近于 ” ) 記作： 當 Δ x → 0 時，f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x→ l . 上述過程通常也記作 l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x＝ l .函數(shù)在點 x 0 處的瞬時變化率通常稱為 f ( x ) 在 x＝ x 0 處的導數(shù)，這時，記作 f ′ ( x 0 ) ，即 f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x，也可記作 y ′ | x ＝ x 0 . 對導數(shù)的理解應注意以下幾點： ( 1 ) 導數(shù)是研究函數(shù)在點 x 0 處及其附近函數(shù)值的改變量 Δ y 與自變量的改變量 Δ x 之比的極限，它是
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