【正文】 |b | )2；向量垂直的充要條件： a ⊥ b ? |a＋ b| ＝ |a － b |. ( 2 ) 若向量 a ＝ ( x1， y1) ， b ＝ ( x2， y2) ，則 a ⊥ b ? x1x2＋ y1y2＝ 0 ； a ∥ b ? x1y2－ x2y1＝ 。＝ 2 ， ????c 的最大值是 2 ，故選 A. 【點(diǎn)評(píng)】 本題以向量的數(shù)量積 、 夾角為命題形式 ， 將向量與解三角形知識(shí)有機(jī)結(jié)合 ， 考查正弦 、 余弦定理的應(yīng)用 ． 解答本題的關(guān)鍵在于將向量 a ， b ， c 的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn) O ， 根據(jù)題設(shè)條件 ， 得到 A ， O ， B ， C 四點(diǎn)共圓 ， 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的自然聯(lián)想與應(yīng)用 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 ) 若平面向量 α ， β 滿足 |α| ＝ 1 ， |β| ≤ 1 ， 且以向量 α ，β 為鄰邊的平行四邊形的面積為12， 則 α 與 β 的夾角的取值范圍是 _________ . ( 2 ) 已知 a 、 b 為非零向量， m ＝ a ＋ t b ( t ∈ R ) ， 若 | a| ＝ 1 ， | b |＝ 2 ， 當(dāng)且僅當(dāng) t ＝14時(shí) ， | m |取最小值，則向量 a 、 b 的夾角為 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 1 )??????π6，5π6 ( 2 ) C 【解析】 ( 1 ) 依題意 ， 設(shè)夾角為 θ ， | α || β | si n θ＝12， 又 | α| ＝ 1 ， |β |≤ 1 ， 則 sin θ ≥12. 而 θ ∈ [ 0 ， π ] ， ∴ θ ∈??????π6，5π6. ( 2 ) ∵ m ＝ a ＋ t b ， |a| ＝ 1 ， |b |＝ 2 ， 令向量 a 、 b 的夾角為 θ ， ∴ | m| ＝ |a ＋ t b | ＝ | a |2＋ t2| b |2＋ 2 t | a||b | cos θ ＝ 4 t2＋ 4 t cos θ ＋ 1＝ 4??????t ＋cos θ22＋ 1 － cos2θ . 又 ∵ 當(dāng)且僅當(dāng) t ＝14時(shí) ， | m | 取最小值 ，即14＋cos θ2＝ 0 ， ∴ cos θ ＝－12， ∴ θ ＝23π. 規(guī)律技巧提煉 第 8講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ． 平面向量共線與垂直的相關(guān)結(jié)論： ( 1 ) 向量平行 ( 共線 ) 的充要條件： a ∥ b ? ( a ， ∠ ACB ＝ 60176。 b ＝－12，〈 a－ c ， b － c 〉＝ 60176。 λ2＜ 0 ， ① 如圖 ， 過(guò) A 、B 兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線 l 的垂線 ， 垂足分別為 A B1， 則有??????NA→??????NB→＝??????AA1→??????BB1→＝??????AF→??????BF→ ，② 由 ①② 得 λ1＋ λ2＝ 0. 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 向量與平面解析幾何的結(jié)合是高考重要的考查內(nèi)容 ，這類問(wèn)題一般都比較綜合 ， 考 查綜合應(yīng)用知識(shí)的能力 ． 向量知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用 ， 涉及的題型包括求曲線的方程 、 求參數(shù)的取值范圍 、 探究圓錐曲線的幾何性質(zhì) ( 特別是研究定點(diǎn) 、 定值 、 最值問(wèn)題 ) ， 而解決問(wèn)題一般以向量的運(yùn)算為切入口 ， 引入軌跡 ， 再對(duì)解析幾何知識(shí)進(jìn)行深入探究 ． 本題是平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 ，這是向量知識(shí)綜合應(yīng)用的一種常見高考命題方式 ． 另外 ， 向量的幾何意義及圓錐曲線的定義也是在解題中經(jīng)常用到的技巧 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 熱點(diǎn)鏈接 5 平面向量中的最值（ 或范圍 ） 問(wèn)題 平面向量中的最值和范圍問(wèn)題，是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個(gè)量的最值、范圍，如一個(gè)向量模的最值、兩個(gè)向量夾角的范圍等 ． 最值和范圍問(wèn)題都是在變動(dòng)的情況下，某個(gè)量在一個(gè)特殊情況下取得極端值，也就是在動(dòng)態(tài)的情況下確定一個(gè)靜態(tài)的情況，使得這個(gè)情況下某個(gè)量具有特殊的性質(zhì) ( 如最大、最小、其余 情況下都比這個(gè)量大等 ) ． 在數(shù)學(xué)上解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題，這個(gè)思想在平面向量的最值、范圍問(wèn)題中也是適用的，但平面向量兼具 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” 的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問(wèn)題的另一個(gè)基本思想是數(shù)形結(jié)合 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 例 4 [ 201 1 x2＝－ 2 －2k x 2 ＝－ 4. 由 NA→＝ λ1AF→， NB→＝ λ2BF→得 ， x1＋2k＝－ λ1x1， x2＋2k＝－ λ2x2， 整理得 ， λ1＝－ 1 －2kx1， λ2＝－ 1 －2kx2， λ1＋ λ2＝－ 2 －2k ??????1x1＋1x2＝－ 2 －2k ( PF→－ PQ→) ＝ 0 ， 得 x2＝ 4 y . 方法二 ： 由 ( PF→＋ PQ→) | CB→| cos C ＝ | CA→|2＝ 3. 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 例 3 如圖 8 － 1 ， 平面上定點(diǎn) F 到定直線 l 的距離 | FM | ＝ 2 ， P 為該平面上的動(dòng)點(diǎn) ， 過(guò) P 作直線 l 的垂線 ， 垂足為 Q ， 且 ( PF→＋ PQ→) ＝ 2 32＝ 3 ， 則CA→ ， ∠ ABC ＝ 60 176。 c ＝ 0. 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查向量的運(yùn)算及向量平行與垂直的關(guān)系 ， 抓住 a ∥ b 與 a ⊥ c ，得到 b ⊥ c ，這是解決本題的關(guān)鍵 ． 求解向量的問(wèn)題，有時(shí)從性質(zhì)入手更為有效 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 △ ABC 外接圓的半徑為 1 ， 圓心為 O ， 且 2 OA→ ＋ AB→ ＋ AC→ ＝ 0 ，| OA→ |＝ | AB→ |， 則 CA→ ( a ＋ 2b ) ＝ c 廣東卷 ] 若向量 a ， b ， c 滿足 a ∥ b 且 a ⊥ c ，則 c A 1 A 3→ ＝ A 4 A 2→ 山東卷 ] 設(shè) A1， A2， A3， A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的 四點(diǎn) ， 若 A1A3→＝ λ A1A2→( λ ∈ R ) ， A1A4→＝ μ A1A2→( μ ∈ R ) ， 且1λ＋1μ＝ 2 ，則稱 A3， A4調(diào)和分割 A1， A2， 已知平面上的點(diǎn) C ， D 調(diào)和分割點(diǎn) A ，B ， 則下面說(shuō)法正確的是 ( ) A ． C 可能是線段 AB 的中點(diǎn) B ． D 可能是線段 AB 的中點(diǎn) C ． C 、 D 可能同時(shí)在線段 AB 上 D ． C 、 D 不可能同時(shí)在線段 AB 的延長(zhǎng)線上 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【分析】 首先理解題設(shè)給出的新定義信息 ， 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量的共線問(wèn)題討論 ． D 【解析】 若 C 、 D 調(diào)和分割點(diǎn) A ， B ， 則 AC→ ＝ λ AB→ ( λ ∈ R ) ， AD→＝ μ AB→ ( μ ∈ R ) ， 且1λ＋1μ＝ 2. 對(duì)于 A ： 若 C 是線段 AB 的中點(diǎn) ， 則 AC→ ＝12AB→ ? λ ＝12?1μ＝ 0 ， 故A 選項(xiàng)錯(cuò)誤 ； 同理 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤 ； 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 對(duì)于 C ： 若 C 、 A 同時(shí)在線段 AB 上 ， 則 0 λ 1 , 0 μ 1 ?1λ＋1μ2 ， C 選項(xiàng)錯(cuò)誤 ； 對(duì)于 D ： 若 C 、 D 同時(shí)在線段 AB 的延長(zhǎng)線上 ， 則 λ 1 ， μ 1 ?1λ＋1μ2 ， 故 C 、 D 不可能同時(shí)在線段 AB 的延長(zhǎng)線上 ， D 選項(xiàng)正確 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題是一道新定義信息題 ， 考查學(xué)生對(duì)新定義的理解以及處理 問(wèn)題的能力 ． 解答這類問(wèn)題 ， 首先需要分析新定義的特點(diǎn) ， 把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚 ， 然后應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中 ， 這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在 ． 第 8講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 若四邊形 A 1 A 2 A 3 A 4 滿足 ： A 1 A 2→ ＋ A 3 A 4→ ＝ 0 ， ( A 1 A 2→ － A 1 A 4→ ) b|a || b | ＝x1x2＋ y1y2x21＋ y21x22＋ y22； ( 3 ) 數(shù)量積的范圍 ： － |a|| b |≤ a b 等于 |a| 與 b 在 a 方向上的投影 |b| cos θ 的乘積 ． 3 ． 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) ( 1 ) 向量垂直的充要條件 ： a ⊥ b ? a b ＝ |a|| b | cos 〈 a ， b 〉＝ ( x1， y1) c 取得最大值 ． 又由 ( 1 ) 知 A ＝π3， ∴ B ＝ C ＝π3， 故 b n ＝72， ∴ － 2 cos2A ＋ 2cos A ＋ 3 ＝72， 解得 cos A＝12. ∵ 0 A π ， ∴ A ＝π3. ( 2 ) ∵ 在 △ AB C 中 ， a2＝ b2＋ c2－ 2 bc cos A ， 且 a ＝ 3 ， ∴ ( 3 )2＝ b2＋ c2－ 2 bc n ＝ 4 cos2A2－ cos2 A ＝ 4 n ＝72. ( 1 ) 求角 A 的大小 ； ( 2 ) 若 a ＝ 3 ， 試判斷 b BC＝3 3332213＝3147 . ∴ PD ＝ 1 ＋??????31472＝25914. ∴ 船在航行過(guò)程中與觀察站 P 的最短距離為25914 km. 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 方法二 ) 由 ( 1 ) 知在 △ ACB 中 ， 由正弦定理ACsin B＝BCsin60176。 AC ， ∴ 由余弦定理得 BC ＝ ? 3 ?2＋??????332－ 2 3 33cos 60176。 ＋ 45176。＝ 3 . 同理 ， 在 Rt △ PC A 中 ，AC ＝1tan60176。 的 C 處 ． ( 1 ) 求船的航行速度 ； ( 2 ) 求船從 B 到 C 航行過(guò)程中與觀察站 P 的最短距離 ． 圖 7 － 2 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1 ) 設(shè)船速為 x k m/ h ， 則 BC ＝x6 k m. 在 Rt △ P AB 中 ，∠ PB A 與俯角相等為 30176。 的 B 處 ， 到 11 ： 10時(shí) ， 又測(cè)得該船在 P 的北偏西 4 5176。 ， 這個(gè)三角形中的所有元素都能求出 ， 這樣就為解另外的三角形提供了新的已知條件 ． 本題也可以在 △ ABD 中求出 AB ， 然后在△ ABC 中使用余弦定理求 BC . 第 7講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如圖 7 － 2 ， 在海島 A 上有一座海拔 1 km 的山峰 ， 山頂設(shè)有一個(gè)觀察站 P . 有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行 ， 上午 11 ：00 時(shí) ， 測(cè)得此船在 P 的北偏東 15176。 BD cos ∠ BDC ＝ 402＋ 422－ 80 42cos ( 60176。 ， co s α ＝ 1 － sin2α ＝1114.