專題3三角函數(shù)與平面向量(參考版)
2025-07-21 00:28本頁面
【正文】 廣東卷 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ A s i n ( 3 x ＋φ )( A 0 ， x ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ )) ， 0 φ π 在 x ＝π12時取得最大值 4. ( 1 ) 求 f ( x ) 的最小正周期； ( 2 ) 求 f ( x ) 的解析式； ( 3 ) 若 f23α ＋π12＝125，求 s i n α 3 ． 若函數(shù) f ( x ) ＝ s in2ax － 3 s in c o s ax ( a 0) 的圖象與直線 y ＝ m 相切，相鄰切點(diǎn)之間的距離為π2. ( 1) 求 m 的值； ( 2) 若點(diǎn) A ( x0， y0) 是 y ＝ f ( x ) 圖象的對稱中心，且 x0∈ 0 ，π2，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)． 規(guī)律技巧提煉 1 ．五點(diǎn)法是作圖的基礎(chǔ)，五點(diǎn)的橫坐標(biāo)由 ωx ＋ φ 分別取 0 ，π2， π ，3π2， 2π 來確定；由 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 的圖象的一部分求其解析式， 其中 A是圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的一半， ω 由公式 T ＝2π| ω |確定， φ 由ωx ＋ φ 所對應(yīng)的五點(diǎn)中的 “ 關(guān)鍵點(diǎn) ” 的坐標(biāo)來確定． 2 ．求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)上是解不等式 ( 組 ) ，一般根據(jù)三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線直接寫出三角不等式的解，求三角函數(shù)的值域 ( 最值 ) ，一般要結(jié)合函數(shù)的圖象，利用單調(diào)性和定義域求解． 3 ． 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心等體現(xiàn)了化歸及整體代換的思想，將問題轉(zhuǎn)化為最基本的三角函數(shù) y ＝ s i n x 或 y ＝ c o s x 來處理． 。 c o s 2 φ ＋π6＝ 0 ， 所以 c o s 2 φ ＋π6＝ 0 , 2 φ ＋π6＝ k π ＋π2， 又 | φ |π2， 所以 k ＝－ 1 ， φ ＝－π3， 或 k ＝ 0 ， φ ＝π6. 例 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 3 s i n x c o s x ＋ 2 c o s2x － 1 ( x ∈ R ) ． ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期及在區(qū)間 0 ，π2上的最大值和最小值 ； ( 2 ) 若函數(shù) f ( x ＋ φ ) 為偶函數(shù) ， 且 | φ |π2， 求角 φ 的值 ． 【點(diǎn)評】 解決本題注意三點(diǎn) ： ( 1 ) 三角函數(shù)式的化簡 ， ( 2 )弄清函數(shù)在 0 ，π2上的單調(diào)性 ， ( 3 ) 本題也可直接用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化 ： 因函數(shù) f ( x ＋ φ ) ＝ 2 s i n 2
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