詳解十五道高中立體幾何典型易錯(cuò)題(參考版)
2025-03-28 12:05本頁面
【正文】 典型立體幾何題典型例題一例1 設(shè)有四個(gè)命題：①底面是矩形的平行六面體是長方體；②棱長都相等的直四棱柱是正方體；③有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；④對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體．其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4分析：命題①是假命題．因?yàn)榈酌媸蔷匦蔚闹逼叫辛骟w才是長方體．底面是矩形，側(cè)棱不垂直于底面，這樣的四棱柱仍是斜平行六面體；命題②是假命題．底面是菱形，底面邊長與棱長相等的直四棱柱不是正方體；命題③是假命題．因?yàn)橛袃蓷l側(cè)棱垂直于義面一邊不能推出側(cè)棱與底面垂直．命題④是真命題，如圖所示，平行六面體中所有對(duì)角線相等，對(duì)角面是平行四邊形，對(duì)角線，所以四邊形是矩形，即，同理四邊形是矩形，所以，由知底面，即該平行六面體是直平行六面體．故選A．說明：解這類選擇題的關(guān)鍵在于理清各種棱柱之間的聯(lián)系與區(qū)別，要緊扣底面形狀及側(cè)棱與底面的位置關(guān)系來解題．下面我們列表來說明平行四邊形與平行六面體的性質(zhì)的“類比”，由此，我們可以發(fā)現(xiàn)立體幾何與平面幾何許多知識(shí)是可以進(jìn)行類比的．見表表平行四邊形平行六面體①對(duì)邊平行且相等①相對(duì)的側(cè)面平行且全等②對(duì)角線交于一點(diǎn)，且在這一點(diǎn)互相平分②對(duì)角線交于一點(diǎn)且在這一點(diǎn)互相平分③四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和③十二條棱的平方和等于四條對(duì)角線的平方和典型例題二例2 如圖，正四棱柱中，對(duì)角線，與側(cè)面所成角為，求：（1）與底面所成角；（2）異面直線與所成角；（3）正四棱柱的全面積．分析：正四棱柱是一種特殊的長方體，它的兩底面、是正方形，長方體中有比較多的線面垂直關(guān)系，而線面垂直關(guān)系往往是解決立體幾何問題的關(guān)鍵條件．題中無論是已知線面成角，還是求線面成角，都要把它們轉(zhuǎn)化為具體的角，落實(shí)線面成角，先要找線面垂直關(guān)系．異面直線與所成角通過，落實(shí)為具體的．正四棱柱各個(gè)面都是矩形，求面積只要用矩形面積公式．解：（1）在正四棱柱中，∵面，∴是與側(cè)面所成角，即．∵ ，∴ ，∵ 是正方形，∴，平面，∴ 是與底面所成角，在△中，∴，∴，即與底面所成角為．（2）∵，∴是與所成角（或補(bǔ)角）．∵平面，∴ ，△中，∴，∴，即異面直線與所成角為．（3）△中，．∴ ，∴ ．說明：長方體是一種特殊的棱柱，充分感受其中豐富的線面垂直、線線垂直關(guān)系是靈活解題的關(guān)鍵，各種垂直關(guān)系是解決立體幾何中證明和計(jì)算的重要條件．典型例題三例3 如圖，已知長方體中，棱長，求直線與平面的距離．分析：求直線到平面的距離，首先要找直線上的
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