詳解十五道高中立體幾何典型易錯(cuò)題-文庫(kù)吧資料
2025-03-31 12:05本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn)到平面的垂線，而找平面的垂線的一個(gè)很有用的思路是，找平面內(nèi)一條直線與某一平面垂直，這里我們不難看出，長(zhǎng)方體中有平面，這樣，只要作，又有，得到平面．解：長(zhǎng)方體中，有平面，過(guò)作于，又有，∴ 平，即是到平面的距離．在△中，由已知可得，∴ ，∴．即是到平面的距離為．說(shuō)明：長(zhǎng)方體中有棱與面的線面垂直關(guān)系，正方體除此之外，還有對(duì)角線與對(duì)角面的線面垂直關(guān)系，比如，求正方體中，與面所成角．這里，要找與所成角，必須找到平面的垂線，因?yàn)槊妫趯?duì)角面內(nèi)，過(guò)作于，則，所以面，可以得到為與面所成角，在對(duì)角面中可計(jì)算．典型例題四例4 如圖，已知直三棱柱中，為側(cè)棱上一點(diǎn)，．（1）若為的中點(diǎn)，為上不同于、的任一點(diǎn)，求證：；（2）若，求與平面所成角的大?。治觯狐c(diǎn)在上變化，為平面內(nèi)變化的一組相交直線（都過(guò)定點(diǎn)），要證明與垂直，必有平面．求與平面所成角的關(guān)鍵是找到面的垂線，從而落實(shí)線面成角，直三棱柱中，側(cè)棱平面給找點(diǎn)到面的垂線創(chuàng)造了方便的條件．解：（1）∵，且是的中點(diǎn)，∴，又∵ 直三棱柱中平面，∴，∴ 平面，∴．在矩形中，∴，∴，∴，即，∴平面，∴．（2）過(guò)作于，∵平面，∴，∴平面，連接，是與平面所成角．在等腰△中，∴，在等腰△中，由面積相等可得，∴，又，在△中，∴，即與平面所成角為．說(shuō)明：由于點(diǎn)在上變化，給思考增加了難度，但仔細(xì)思考，它又提供了解題的突破口，使得線線垂直成為了與一組直線垂直．本題的證明還有一個(gè)可行的思路，雖然在上變化，但是由于平面，所以點(diǎn)在平面上的射影是定點(diǎn)，在平面上射影為定直線，使用三垂線定理，可由，直接證明．三垂線定理是轉(zhuǎn)化空間線線垂直為平面內(nèi)線線垂直的一個(gè)有力工具，再看一個(gè)例子，正方體中，是底面的中心，是上動(dòng)點(diǎn)，是中點(diǎn)，求與所成角．我們?nèi)≈悬c(diǎn)，雖然點(diǎn)變化，但在面上射影為定直線，在正方形中，易證，所以，即與所成角為．典型例題五例5 如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)的截面與底面成的二面角，分別就（1）；（2）計(jì)算截面的面積．分析：要求出截面的面積，首先必須確定截面的形狀，截面與底面成的二面角，如果較大，此時(shí)截面是三角形；但是如果較小，此時(shí)截面與側(cè)棱不交，而與上底面相交，截面為梯形．解：截面與側(cè)棱所在直線交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連、△是等邊三角形，∴，∵平面，∴．∴為截面與底面所成二面角的平面角，∴．∵等邊△邊長(zhǎng)為4，∴．在△中，．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在側(cè)棱上，截面為△，在△中，∴．（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，截面為梯形，∵，∴是△的中位線，∴．說(shuō)明：涉及多面體的截面問(wèn)題，都要經(jīng)過(guò)先確定截面形狀，再解決問(wèn)題的過(guò)程，本例通過(guò)改變側(cè)棱長(zhǎng)而改變了截面形狀，我們也可
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