[理學(xué)]多元積分學(xué)(參考版)
2025-02-21 23:10本頁面
【正文】 xx ?? ???L dsnu nu?? 設(shè) u在閉曲線 L: 所圍閉區(qū)域 D上有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù) , 且 , 求 . 其中 為 u沿 D邊界外法線的方向?qū)?shù) . 例 16 )y,x(P }s in,c o s{T ???}s in,c o s{n ??? 2??? ??dsLs i nyuc osxudsL nu ?????????????????? ??解：設(shè)曲線 L上任意一點 處的切向量為 法向量為 ，注意到 ，于是 dsLc osyus i nxu? ?????????????? ??? ??????????????Ldxyudyxu??? ?????????? ????????D2222Lba2022d x d yy ux udsnu再由 Green 公式有 . 。yy39。dxyedyxedxyedyxe1DL,y0,x0)y,x(D152Lxs i nys i nLxs i nys i nLxs i nys i n???????????????????解 由格林公式，得)1(??? ?? ???DxyLxy dxdyeedxyedyxe )( s i ns i ns i ns i n??? ??? ??DxyLxy dxdyeedxyedyxe )( s i ns i ns i ns i n?? ??Dxy dxdyee )( s i ns i n ?? ?? ?Dxy d x d yee )( s i ns i n對稱，所以關(guān)于因為區(qū)域 xyD ?.s i ns i ns i ns i n ?? ??? ??LxyLxy dxyedyxedxyedyxe（ 2） 由（ 1）知 ? ??L xy dxyedyxe s i ns i n ?? ???Dxy d x d yee )( s i ns i n???Ddxdy2?? ???Dxx dxdyee )( s i ns i n .22??12222 ?? byax2 0 1 1uu 39。F),0( ??? 上所以在 .),0()t(F 內(nèi)單調(diào)增加在故 ??? ?? ??????????20 020 02220)(s i n)()(ttr d rrfddrrrfddtF,)()(202022???ttr d rrfdrrrf解)1(證)2( ,)()()(0202???ttdrrfr d rrftG?),t(G2)t(F0t ??? 時要證明因,0)t(G2)t(F,0t ???? 時只需證明.0]r d r)r(f[dr)r(fdrr)r(ft022t02t022 ?? ???即,]r d r)r(f[dr)r(fdrr)r(f)t(g 2t02t02t022 ??? ??令,0dr)rt)(r(f)t(f)t(39。 2 ???? xexxfxxfxCee)x(f xx2 ??,1)x(fl i m0x???又,1C, ??故.xee)x(f xx2 ??所以，二 . 證明題 :,1||||,)(證明確定由區(qū)域為連續(xù)函數(shù)設(shè) ?? xyDuf例 1 dxxxfdxxxfd x d yfIxDyx)(a r c c o s4()()(211022)1???????????分析 : 要證明的等式右端是定積分 , 且被積函數(shù)中有 項 , 故需將 看成一整體 .)( xf yx22?xy ?)(22,22)1,1(D12D11證明 : 采用極坐標(biāo) .1r,DDD,DD121111??? 分界線為在第一象限的部分為設(shè)將式中 r的換成 x,即得證 . ?? ??1D22 d x d y)yx(f4I由對稱性知 ]d x d y)yx(fd x d y)yx(f[41211 D22D22 ???? ?????????????? 4r1ar c c os211040]d)r(rfdrdr)r(rfd[4?? ????? 2110 dr)r(rf)r1a r c c o s4(dr)r(rf例 2 ??????? d x d yexfyxyfxf1)()(22,]1,0[)( 證明上可積在設(shè)證 )0(1!212 之間于介于 xxxexe x ???????)y(f)(f1)y(f)(f ???? xe x????????? ???1x1x)y(f)(f2222))y(f)(f1(yyx dxdyxdxdye?? ???? ???????? 1x1x 2222)y(f)x(fyyd x d yd x d y.Ryx:D)ba(R21d xd y)y()x()y(b)x(a)t(222D2??????????????其中為連續(xù)正值函數(shù)，證明設(shè)證明： 由積分區(qū)域 D關(guān)于 y=x對稱，所以 ，?? ???????????D Dd x d y)y()x()y(d x d y)y()x()x( 從而 ?? ??? ???Dd xd y)y()x( )y(b)x(a例 3 d xd y)y()x( )y()x()ba(D?? ??? ????? )ba(R
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