[理學(xué)]多元積分學(xué)-文庫(kù)吧
2025-02-03 23:10 本頁面
【正文】 ????????????內(nèi)在使內(nèi)存在在；閉曲線與路徑無關(guān)；內(nèi)在一 . 計(jì)算題 重積分計(jì)算的關(guān)鍵 : 1. 選擇合適的坐標(biāo)系 （綜合考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)） 例 1 ??? ?? ?????222222 yR0xR2Ry2R0y0xy dxedyedxedye計(jì)算 : 解 考慮用極坐標(biāo)變換 先弄清直角坐標(biāo)系下的積分區(qū)域 D， 1 121D2DR，很明顯 21 DDD ?? 由此 ,可以 畫出直角系 下的積分區(qū) 域的圖形， }2Ry0,yx0)y,x({D1 ?????}Ry2R,yRx0)y,x({D 222 ?????? 1 12?rD?? ???xy22D)yx( d x d yeI ????? ?r2Dr r d r de?? ??? ?? R0 r2/ 4/ rd red 2 R0r )e21(42????)e1(82R????例 2 .x y z3)zyx( 3222所圍立體的體積求 ???例 3 解 ????? c oss i nc oss i n3r 23???? c oss i n2s i n23 20???2?2?23?? ?2o? 由對(duì)稱性 ?????14 dVV? ? ??2020c oss i n2s i n23023 2s i n? ??????? drrdd32?例 4 計(jì)算 ??? ????v2 ,dv)zyxc o s ()zyx(}.10,10,10),{( ??????????? zyxzxyxzyxV解 曲面坐標(biāo)變換的目的 , (1)使積分區(qū)域變 得盡量簡(jiǎn)單 , (2)簡(jiǎn)化被積函數(shù)及計(jì)算。 引入坐標(biāo)變換： zyxw,zxvyxu???????)z,y,x()w,v,u(???111101011??? 3?d x d y d z)zyxc o s ()zyx(I 2v????? ?????? ???v2 d u d v d w)w,v,u()z,y,x(wc oswdw31wc o swdvdu 1021010?? ???dwwc o sw31 102??102ws i n61?1s in61? 1 21z例 5 設(shè)心臟線的方程為 ),c o s1(ar ???,0a,0 ????? 求它與極軸圍成的平面 圖形繞極軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積 。 解 ??若視極軸為 z 軸，則 極坐標(biāo) 恰好是球坐標(biāo) ?,r的 ,??:范圍對(duì)于旋轉(zhuǎn)體應(yīng)為而球坐標(biāo) ?.20 ???? 于是體積 ?????? dvV ??? ???? ?????? )c o s1(a0 2020 ds i ndd?????????033ds i n)co s1(3a2????????? ?????0434)c o s1(3a23a8 3??例 6 ???????????11)(2222zyxzyxLdsyxL是其中計(jì)算曲線積分解 由對(duì)稱性 ?? ??????LLdszydsyxI )x(31)z(31 222?? ??LLds31ds31??Lds32?964?例 7 .)0()0(22)()()(22222222222所圍球面部分總在左邊軸正向往下看，曲線從的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的方向規(guī)定位沿，的交線與柱面球面是，其中求LzLLzabaxyxbxzyxLdzxydyzxdxzyL??????????????.)0(2222部分的上側(cè)所圍球面為曲線取 ????? zbxzyxL解 ??????????????????dsyxxzzyd x d yyxd z d xxzd y d zzyIs t o k e s)c o s)(c o s)(c o s)((2)()()(2???公式，有由},{}c o s,c o s,{ c osbzbybbxn????????的單位法向量于是 ????????? ??????? dsyxbzxzbyzybbxI )()()(2????? dsyz )(2 ???? zd s2????? ?c os2 dxdyz ???? b d x d y2?????axyxdxdyb2222ba 22??例 8 ).x(f,1)x(flim),0(Cf,0z d xd yed z d x)x(xyfd yd z)x(xfS0x0x1Sx2求且其中，都有，曲面內(nèi)任意光滑的有向封閉設(shè)對(duì)半空間????????????解 有，設(shè)它的表面為，光滑的有界閉區(qū)域內(nèi)任意公式，對(duì)半空間由題設(shè)及S0xG a u s s???? ???Sx2 z d x d yed z d x)x(xyfd y d z)x(xf0????????? d x d y d z]e)x(xf)x(39。xf)x(f[ x2連續(xù)性的任意性及被積函數(shù)的由 ?)0x(0e)x(xf)
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