[理學(xué)]多元積分學(xué)-wenkub
2023-03-05 23:10:13 本頁(yè)面
【正文】 ? 1 12?rD?? ???xy22D)yx( d x d yeI ????? ?r2Dr r d r de?? ??? ?? R0 r2/ 4/ rd red 2 R0r )e21(42????)e1(82R????例 2 .x y z3)zyx( 3222所圍立體的體積求 ???例 3 解 ????? c oss i nc oss i n3r 23???? c oss i n2s i n23 20???2?2?23?? ?2o? 由對(duì)稱性 ?????14 dVV? ? ??2020c oss i n2s i n23023 2s i n? ??????? drrdd32?例 4 計(jì)算 ??? ????v2 ,dv)zyxc o s ()zyx(}.10,10,10),{( ??????????? zyxzxyxzyxV解 曲面坐標(biāo)變換的目的 , (1)使積分區(qū)域變 得盡量簡(jiǎn)單 , (2)簡(jiǎn)化被積函數(shù)及計(jì)算。:T)3(39。DD????????????????是一對(duì)一的，則有變換上雅可比式在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在且滿足，平面上的變?yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換上平面上的閉區(qū)域在設(shè)定理三重積分的換元法 (Change of Variable in Triple Integral) ，且滿足上的閉區(qū)域變?yōu)樯系拈]區(qū)域?qū)⑸线B續(xù)，變換在有界閉區(qū)域設(shè)定理????????x y zo39。(18261866) 只有在微積分發(fā)明 之后 ， 物理學(xué)才 成為一門科學(xué) .只 有在認(rèn)識(shí)到自然 現(xiàn)象是連續(xù)的之 后 ， 構(gòu)造抽象模 型的努力 才取 得了成功 。u v wo),w,v,u(zz),w,v,u(yy),w,v,u(xx:T)z,y,x(f續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；上具有一階連在 D)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(x)1(。???????????? 是一對(duì)一的，則有變換容易驗(yàn)證， 柱坐標(biāo) (Cylindrical Coordinate)變換的 Jacobi行列式為 球坐標(biāo) (Spherical Coordinate)變換的 Jacobi行列式為 ,r1000co srs i n0s i nrco s)z,r()z,y,x(J ?????????????? s in2),()z,y,x(J??????0s i nco sco ss i ns i nco ss i ns i ns i ns i nco sco sco ss i n?????????????????????? 廣義球坐標(biāo)變換的 Jacobi行列式為 ???? c oss i nax???? s i ns i nby??? c o scz其中 ?????0????0???? 20),()z,y,x(J?????? ,s i na b c 2 ????? ????D。 引入坐標(biāo)變換： zyxw,zxvyxu???????)z,y,x()w,v,u(???111101011??? 3?d x d y d z)zyxc o s ()zyx(I 2v????? ?????? ???v2 d u d v d w)w,v,u()z,y,x(wc oswdw31wc o swdvdu 1021010?? ???dwwc o sw31 102??102ws i n61?1s in61? 1 21z例 5 設(shè)心臟線的方程為 ),c o s1(ar ???,0a,0 ????? 求它與極軸圍成的平面 圖形繞極軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積 。 2 ???? xexxfxxfxCee)x(f xx2 ??,1)x(fl i m0x???又,1C, ??故.xee)x(f xx2 ??所以，二 . 證明題 :,1||||,)(證明確定由區(qū)域?yàn)檫B續(xù)函數(shù)設(shè) ?? xyDuf例 1 dxxxfdxxxfd x d yfIxDyx)(a r c c o s4()()(211022)1???????????分析 : 要證明的等式右端是定積分 , 且被積函數(shù)中有 項(xiàng) , 故需將 看成一整體 .)( xf yx22?xy ?)(22,22)1,1(D12D11證明 : 采用極坐標(biāo) .1r,DDD,DD121111??? 分界線為在第一象限的部分為設(shè)將式中 r的換成 x,即得證 . ?? ??1D22 d x d y)yx(f4I由對(duì)稱性知 ]d x d y)yx(fd x d y)yx(f[41211 D22D22 ???? ?????????????? 4r1ar c c os211040]d)r(rfdrdr)r(rfd[4?? ????? 2110 dr)r(rf)r1a r c c o s4(dr)r(rf例 2 ??????? d x d yexfyxyfxf1)()(22,]1,0[)( 證明上可積在設(shè)證 )0(1!212 之間于介于 xxxexe x ???????)y(f)(f1)y(f)(f ???? xe x????????? ???1x1x)y(
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