[理學(xué)]多元函數(shù)積分學(xué)習(xí)題課(參考版)
2025-02-24 12:49本頁面
【正文】 ??????2122zyxL解：?????????2s inc o szyxL ????????? dI ]0)1si n( c o sc o ssi nc o s2[02 22? ???????2??2 2 22 2 2 2 23 1 ( ) ( 1 ) ,51LI x y zd x x y d y x y d zL x y z z x yoz? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??例 、 計(jì) 算 ： 其 中為 球 面 與 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 的 交 線 ，從 軸 正 向 看 去 為 順 時(shí) 針 。例 27 曲線 AM O 由函數(shù)],0[, axxaxy ??? 表示 ,例 2 8 計(jì)算拋物線 )0()( 2 ??? aaxyx 與 x 軸所圍成的面積 . 解 ONA 為直線 0?y .? ??? L y dxxdyA 21?? ???? A M OO N A yd xxdyyd xxdy 2121)0,(aANM? ?? A M O ydxxdy21dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?.614 20 adxxa a ?? ?)0,(aANM例 2 9 計(jì)算 ? ???Ldyyxdxxyx )()2( 422 . 其中 L 為由點(diǎn) )0,0(O 到點(diǎn) )1,1(B 的曲線弧2s i nxy?? . xxyxyyP2)2(2??????? xyxxxQ2)(42???????解 xQyP?????? ，原積分與路徑無關(guān) 故原式 ? ? ???101042 )1( dyydxx.1523?例 30 設(shè)曲線積分 ? ??Ldyxydxxy )(2 與路徑無關(guān) , 其中 ? 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) , 且 0)0( ?? , 計(jì)算 ? ??)1,1()0,0(2 )( dyxydxxy . 積分與路徑無關(guān) xQyP ????? ，解 ,2)( 2 xyxyyyP ?????? ),()]([ xyxyxxQ ? ????????,),( 2xyyxP ? ),(),( xyyxQ ??由 0)0( ?? ， 知 0?c 2)( xx ??? .故 ? ??)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy由 xyxy 2)( ?? ? cxx ???? 2)(?? ?? 1010 0 y d ydx .21? 計(jì)算 ????? dszyx )( , 其中 ? 為平面5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分 .例 31 積分曲面? ： yz ?? 5 ,解 投影域 ：}25|),{( 22 ??? yxyxD xy????? dszyx )(故?? ????xyDd x d yyyx )5(2 ?? ??xyDdxdyx )5(2r d rrd ?? ???? ? 5020 )c os5(2 .2125 ??dx dyzzdS yx 221 ?????dx dy2)1(01 ???? ,2 d x d y?例 32. 計(jì)算曲面積分 中 ? 是球面 .22222 zxzyx ????解 : ?? ? ?? Szx d)22(? ? SzyxI d )( 222 ???? ?? ?zyyx 22 ??? ? ?? Syzx d)(2?? ??? Szx d)(2 0?利用對(duì)稱性 用重心公式 計(jì)算 ???x d S , 其中 ? 是圓柱面 122 ?? yx ,平面 2?? xz 及 0?z 所圍成的空間立體的表面 .例 33 解 ???????????????321 其中 1? ： 0?z ,2? ： 2?? xz ,3? ： 122 ?? yx .投影域 1D ： 122 ?? yx顯然 011?? ????? Dx d x d yx d S ,01112??? ????? DdxdyxxdS討論 3? 時(shí) , 將投影域選在 x o z 上 .（ 注意： 21 xy ??? 分為左、右兩片 ） ??? 3xdS ????31xdS ????32xd S（左右兩片投影相同） ?? ?????xzDzx d x d zyyx2212xoz?????xzDdxdzxxx22112? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx,?? ???? xdS ?????? 00 .例 34 計(jì)算 ???xy zd xd y 其中 Σ 是球面1222??? zyx 外側(cè) 在 0,0 ?? yx 的部分 . 解 兩部分和分成把 21 ???。 (2) 證明 t 0 時(shí) , .)(2)( tGtF ?? (03考研 ) 例 16 解 : (1) 因?yàn)? ??????ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsi n)(dd)(??????????ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得 ? ? 202022d)(d)()()(2)(?? ???ttrrrfrrtrrftfttF,0)(),0( ????? tF上在 .),0()( 單調(diào)增加上在故 ??tF(2) 問題轉(zhuǎn)化為證 ????ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(?????ttrrfrrrf0202d)(d)(?即證 ? ? 0d)(d)(d)( 20 20 20 22 ?? ??? ttt rrrfrrfrrrf?)(tg0d))(()()( 0 222 ???? ? t rrtrftftg,),0()( 單調(diào)增在故 ??tg ,0)( 連續(xù)在又因 ?ttg故有 )0()0()( ?? tgtg 0?因此 t 0 時(shí) , .0)(2)( ?? tGtF ?因 例 17 .)1,1()0,0(,:,2 一段到從其中求xyLdsyIL?? ?解 dxxxI )(1 210 2 ??? ?xy ?2.10: 2 ??? xxyLdxxx 210 41 ?? ?)155(121 ??22( ) ( )2( )( ) (()) 130h t txyz h tht???例 14 ： 設(shè) 有 一 高 度 為 為 時(shí) 間 的 雪 堆 在 融 化 過 程 中 ，其 側(cè) 面 滿 足 方 程 設(shè) 長 度 單 位 為厘 米 ， 時(shí) 間 單 位 為 小 時(shí) ） ， 已 知 體 積 減 少 的 速 率 與 側(cè)面 積 成 正 比 （ 比 例 系 數(shù) 問 高 度 為 厘 米 的 雪 堆 全 部融 化 需 多 少 時(shí) 間 ？sdtdv ?解： sdtdv ???????? ? ??DthDth dxdydzdzdxdyv )(0)(0? ?? )(0 2 ])()([21th dzzthth? )(4 3 th??22( ) ( )2( )( ) (()) 130h t t xyz h t ht ???例 14 ： 設(shè) 有 一 高 度
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1