【正文】 0,0( 時 ,1Drlx y o L D由格林公式知 ? ???L yx y dxxd y 022作位于 D 內(nèi)圓周 222: ryxl ?? ,記 1D 由 L 和 l 所圍成 ,應(yīng)用格林公式 , 得y x o ?? ????? lL yx y d xx dyyx y d xx dy 2222 x y o r1DlL 02222 ?????? ??lL yxy dxxdyyxy dxxdy( 其中 l 的方向取逆時針方向 ).2??(注意格林公式的條件 ) ??? dr rr 22222 s i ncos ?? ?? 202 2 2 2 2 2 2 24320 ( ) ( ) ,( 3 ) ( 4) ( 3 ) ( 4)( 5 , 6) , ( 5 , 6) , ( 5 , 6) , ( 5 , 6)Ly y x xI dx dyx y x y x y x yL A B C D? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??例 、其 中 為 連 接 點 的 矩 形 路 徑 。例 27 曲線 AM O 由函數(shù)],0[, axxaxy ??? 表示 ,例 2 8 計算拋物線 )0()( 2 ??? aaxyx 與 x 軸所圍成的面積 . 解 ONA 為直線 0?y .? ??? L y dxxdyA 21?? ???? A M OO N A yd xxdyyd xxdy 2121)0,(aANM? ?? A M O ydxxdy21dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?.614 20 adxxa a ?? ?)0,(aANM例 2 9 計算 ? ???Ldyyxdxxyx )()2( 422 . 其中 L 為由點 )0,0(O 到點 )1,1(B 的曲線弧2s i nxy?? . xxyxyyP2)2(2??????? xyxxxQ2)(42???????解 xQyP?????? ，原積分與路徑無關(guān) 故原式 ? ? ???101042 )1( dyydxx.1523?例 30 設(shè)曲線積分 ? ??Ldyxydxxy )(2 與路徑無關(guān) , 其中 ? 具有連續(xù)的導數(shù) , 且 0)0( ?? , 計算 ? ??)1,1()0,0(2 )( dyxydxxy . 積分與路徑無關(guān) xQyP ????? ，解 ,2)( 2 xyxyyyP ?????? ),()]([ xyxyxxQ ? ????????,),( 2xyyxP ? ),(),( xyyxQ ??由 0)0( ?? ， 知 0?c 2)( xx ??? .故 ? ??)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy由 xyxy 2)( ?? ? cxx ???? 2)(?? ?? 1010 0 y d ydx .21? 計算 ????? dszyx )( , 其中 ? 為平面5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分 .例 31 積分曲面? ： yz ?? 5 ,解 投影域 ：}25|),{( 22 ??? yxyxD xy????? dszyx )(故?? ????xyDd x d yyyx )5(2 ?? ??xyDdxdyx )5(2r d rrd ?? ???? ? 5020 )c os5(2 .2125 ??dx dyzzdS yx 221 ?????dx dy2)1(01 ???? ,2 d x d y?例 32. 計算曲面積分 中 ? 是球面 .22222 zxzyx ????解 : ?? ? ?? Szx d)22(? ? SzyxI d )( 222 ???? ?? ?zyyx 22 ??? ? ?? Syzx d)(2?? ??? Szx d)(2 0?利用對稱性 用重心公式 計算 ???x d S , 其中 ? 是圓柱面 122 ?? yx ,平面 2?? xz 及 0?z 所圍成的空間立體的表面 .例 33 解 ???????????????321 其中 1? ： 0?z ,2? ： 2?? xz ,3? ： 122 ?? yx .投影域 1D ： 122 ?? yx顯然 011?? ????? Dx d x d yx d S ,01112??? ????? DdxdyxxdS討論 3? 時 , 將投影域選在 x o z 上 .（ 注意： 21 xy ??? 分為左、右兩片 ） ??? 3xdS ????31xdS ????32xd S（左右兩片投影相同） ?? ?????xzDzx d x d zyyx2212xoz?????xzDdxdzxxx22112? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx,?? ???? xdS ?????? 00 .例 34 計算 ???xy zd xd y 其中 Σ 是球面1222??? zyx 外側(cè) 在 0,0 ?? yx 的部分 . 解 兩部分和分成把 21 ???。及是由拋物線其中計算2, 2?????xyxyDx ydD?例 4 解 ： （ 如圖）將 D作 Y型 ???? ??? 22 1 2yyDx y d xdyx y d ?dyyyydyyxyy???????????????21522212])2([212 2855]62344[21 216234????? ?yyyy? ?2,41 2 2yx?2?? yx? ?1,1?xy)( yx后先例 5 解： .10,11:.2 ???????? yxDdxyD其中計算 ?1D 2D3D先去掉絕對值符號，如圖 ???dxydyxdxyDDDD???????????? 321)()( 222???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx .1511? 分析 積分區(qū)域可表示為 X型區(qū)域 D: ?1?y?1, ?1?xy. D: ?1?x?1, x?y?1. 積分區(qū)域也可表示為 Y型區(qū)域 提問 : 哪個二次積分容易計算？ 及 y?x所圍成的閉區(qū)域 . 例 2 計算 ?dyxyD?? ?? 221 , 其中 D 是由直線 y ? 1 、 x ? ? 1 或 ? ??? ? ? ????? 1 1 1 2222 11 yDdxyxy dydyxy ? . 于 是 有 ???? ??????1 221122 11xDdyyxydxdyxy ? , 例 6 解 積分區(qū)域可表示為 X型區(qū)域 D: ?1?x?1, x?y?1. 及 y?x所圍成的閉區(qū)域 . 例 2 計算 ?dyxyD?? ?? 221 , 其中 D 是由直線 y ? 1 、 x ? ? 1 于 是 有 ???? ??????1 221122 11xDdyyxydxdyxy