【正文】 其中 為 u沿 D邊界外法線的方向?qū)?shù) . 例 16 )y,x(P }s in,c o s{T ???}s in,c o s{n ??? 2??? ??dsLs i nyuc osxudsL nu ?????????????????? ??解：設(shè)曲線 L上任意一點(diǎn) 處的切向量為 法向量為 ，注意到 ，于是 dsLc osyus i nxu? ?????????????? ??? ??????????????Ldxyudyxu??? ?????????? ????????D2222Lba2022d x d yy ux udsnu再由 Green 公式有 . 。0dv)z,y,x(f),z,y,x(f)z,y,x(f 則若.dv)z,y,x(f2dv)z,y,x(f),z,y,x(f)z,y,x(f1??? ???? ????則若使用對稱性時(shí)應(yīng)注意： １、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性； ２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè) 坐標(biāo)軸 (三個(gè)變量 )的奇偶性 . 二重積分與曲線積分的聯(lián)系 （ Green公式） )()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQLD??? ???????三重積分與曲面積分的聯(lián)系 (Gauss公式 ) ?????????????????? R d x d yQ d z d xP d y d zdv)zRyQxP(曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 (Stokes公式） dx dyyPxQdz dxxRzPdydzzQyR)()()(???????????????????? ????? R dzQ dyP dx與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題 條件 在單連通開區(qū)域 D 上 ),(),( yxQyxP 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 則以下四個(gè)命題成立 .? ?L Q d yP d xD 與路徑無關(guān)內(nèi)在)1(? ???C DCQd yP d x 閉曲線,0)2(Q d yP d xduyxUD ??使內(nèi)存在在 ),()3(xQyPD?????,)4( 內(nèi)在等 價(jià) 命 題 空間曲線積分與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題 條 件 .),( ),(),( 列四個(gè)條件等價(jià)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則下 上若在空間單連通區(qū)域 zyxR zyxQzyxPV等 價(jià) 命 題 .,)4(。0)w,v,u()z,y,x()w,v,u(J39。39。 解 ??若視極軸為 z 軸，則 極坐標(biāo) 恰好是球坐標(biāo) ?,r的 ,??:范圍對于旋轉(zhuǎn)體應(yīng)為而球坐標(biāo) ?.20 ???? 于是體積 ?????? dvV ??? ???? ?????? )c o s1(a0 2020 ds i ndd?????????033ds i n)co s1(3a2????????? ?????0434)c o s1(3a23a8 3??例 6 ???????????11)(2222zyxzyxLdsyxL是其中計(jì)算曲線積分解 由對稱性 ?? ??????LLdszydsyxI )x(31)z(31 222?? ??LLds31ds31??Lds32?964?例 7 .)0()0(22)()()(22222222222所圍球面部分總在左邊軸正向往下看，曲線從的方向運(yùn)動時(shí)，的方向規(guī)定位沿，的交線與柱面球面是，其中求LzLLzabaxyxbxzyxLdzxydyzxdxzyL??????????????.)0(2222部分的上側(cè)所圍球面為曲線取 ????? zbxzyxL解 ??????????????????dsyxxzzyd x d yyxd z d xxzd y d zzyIs t o k e s)c o s)(c o s)(c o s)((2)()()(2???公式，有由},{}c o s,c o s,{ c osbzbybbxn????????的單位法向量于是 ????????? ??????? dsyxbzxzbyzybbxI )()()(2????? dsyz )(2 ???? zd s2????? ?c os2 dxdyz ???? b d x d y2?????axyxdxdyb2222ba 22??例 8 ).x(f,1)x(flim),0(Cf,0z d xd yed z d x)x(xyfd yd z)x(xfS0x0x1Sx2求且其中，都有，曲面內(nèi)任意光滑的有向封閉設(shè)對半空間????????????解 有，設(shè)它的表面為，光滑的有界閉區(qū)域內(nèi)任意公式，對半空間由題設(shè)及S0xG a u s s???? ???Sx2 z d x d yed z d x)x(xyfd y d z)x(xf0????????? d x d y d z]e)x(xf)x(39。0)v,u()y,x()v,u(JD)2(D)v,u(y),v,u(x)1(DxoyDu o v)v,u(yy),v,u(xx:TDxoy)y,x(f39。F),0( ??? 上所以在 .),0()t(F 內(nèi)單調(diào)增加在故 ?